Combinazioni (Coefficiente Binomiale)

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Combinazioni Semplici

Combinazioni con Ripetizioni

Related

Calcolo Combinatorio

Calcolo delle Probabilità (class)

Combinazioni Semplici

Definizione

Numero di sottoinsiemi di $k$ elementi distinti che si possono creare da un insieme di $n$ elementi distinti.
$C_{nk} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Proprietà

$(k n) = (n - k n)$

Esempio

In quanti modi si possono scegliere 3 persone da un gruppo di 90?

oss: $n = 90$ , $k = 3$ , ordine non conta, no ripetizioni.

Risposta:
$C_{nk} = (3 90) = \frac{90 !}{3 ! ( 90 - 3 )!} = \frac{90 !}{3 ! \cdot 87 !} = 117480$

Combinazioni con Ripetizioni

Definizione

Numero di sottoinsiemi di $k$ elementi che si possono creare da un insieme di $n$ elementi distinti.
$C_{nk}^{r} = (k n + k - 1) = \frac{( n + k - 1 )!}{k ! ( n - 1 )!}$

Esempio

In quanti modi posso estrarre 4 biglie da un cesto di 10 biglie (dopp ogni estrazione la biglia viene ri-inserita nel cesto)

oss: $n = 10$ , $k = 4$ , ordine non conta, ripetizioni.

$C_{nk}^{r} = (4 10 + 4 - 1) = \frac{( 10 + 4 - 1 )!}{4 ! ( 10 - 1 )!} = \frac{13 !}{4 ! \cdot 9 !}$

Coefficiente Multinomiale

Definizione

l coefficiente multinomiale rappresenta il numero di modi in cui si possono disporre $n$ oggetti distinti in m gruppi di dimensioni $k_{1} , k_{2} , ..., k_{m} $ .
$(k _{1} , k _{2} , \dots , k _{r} n) = \frac{n !}{k _{1} ! \cdot k _{2} ! \cdot \dots \cdot k _{m}}$
Dove:

$n$ è il numero totale di oggetti

$k_{1}, k_{2} , ..., k_{m}$ sono le dimensioni dei gruppi

$m$ è il numero di gruppi

Esempio

Ad esempio, se si hanno 5 oggetti distinti e si vuole dividerli in 2 gruppi di 2 oggetti e 1 gruppo di 1 oggetto, il coefficiente multinomiale sarebbe:

$(2 , 2 , 1 5) = \frac{5 !}{2 ! \cdot 2 ! \cdot 1 !} = 30$

oss

In realtà il coefficiente multinomiale non è altre che un prodotto tra coefficienti binomiali.

Esempio: 5 amici vogliono organizzare una festa e devono dividersi i compiti, 2 cucinano, 2 puliscono , 1 acquista il cibo. In quanti modi possono dividersi questi compiti?

Metodo 1 (multinomiale): $(2 5) \cdot (2 3) \cdot (1 1) = \frac{5 !}{2 ! 3 !} \cdot \frac{3 !}{2 ! 1 !} \cdot \frac{1 !}{1 ! 1 !} = \frac{5 !}{2 ! 2 ! 1 !} = 30$

Metodo 2 (binomiale): $(2 , 2 , 1 5) = \frac{5 !}{2 ! \cdot 2 ! \cdot 1 !} = 30$

Casi Particolari

Simmetria della scelta

Ogni volta che dobbiamo scegliere $k$ persone da un gruppo di $n = 2 k$ persone senza altre informazioni aggiuntive allora il basta fare la metà delle scelte.

Il fenomeno si chiama “simmetria della scelta” e si verifica quando si deve scegliere un gruppo di oggetti da un insieme più grande, ma la scelta di un gruppo determina automaticamente l’altro gruppo.

Quindi se dobbiamo fare due squadre da 5 partendo da dieci persone allora il calcolo sarà:
$\frac{1}{2} \cdot (5 10)$
Invece se dobbiamo dividere 10 persone in 2 square ma una con una maglia rossa e l’altra con maglia blu allora il calcolo sarà:
$(4 6)$

Esempi

Esempio 1

Ho un azienda con:

10 informatici

5 segretari

20 operai

In quanti modi posso scegliere una delegazioni di:

3 informatica

2 segretari

6 operai

Risposta:

Possiamo sceglie 3 informatici in $(3 10)$ modi diversi.

Possiamo sceglie 2 segretari in $(2 5)$ modi diversi.

Possiamo sceglie 6 operai in $(6 20)$ modi diversi.

Quindi la delegazione può essere composta in $(3 10) \cdot (2 5) \cdot (6 20)$ modi diversi.

Esempio 2

In quanti modi e possibile suddividere 10 persone in in 5 gruppi da 2?

Risposta:
$(2 , 2 , 2 , 2 , 2 10) = \frac{10 !}{2 ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 !}$

Esempio 3

10 amici devo formare due squadre da 5, in quanti modi diversi si può fare.

Risposta:

Questa domanda può essere riscritta come in quanti modi diversi posso estrarre 5 persone da un gruppo di 10.

Quindi: $(5 10)$

Esempio 4

6 studenti devono essere divisi in due gruppi di 4 e 2 studenti, in quanti modi si può fare.

Risposta:

Basta scegliere 4 studenti, quindi dobbiamo capire in quanti modi diversi possiamo estrarre 4 persone da un gruppo da 6.

Quindi $(4 6)$

oss: $(4 6) = (2 6)$

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Combinazioni (Coefficiente Binomiale)

Combinazioni Semplici

Combinazioni con Ripetizioni

Coefficiente Multinomiale

Casi Particolari

Esempi

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