Le funzioni sono visti come moduli elementari che possono essere combinati tra loro per costruire operazioni più complesse in modo elegante e matematicamente rigoroso.
Teoria e Regole di Tipaggio
Dal punto di vista matematico, la composizione di due funzioni f e g si scrive f∘g. In Haskell, questo concetto è implementato dall’operatore infisso (.).
(f . g) x = f (g x)
Questo significa che il risultato della funzione g (applicata all’argomento x) diventa l’input per la funzione f.
Definition Il Politipo della Composizione
L’operatore . è una funzione di ordine superiore perché accetta altre funzioni come argomenti. Il suo tipo è:
(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
(b -> c): La prima funzione (f) che prende un valore di tipo b e restituisce un tipo c.
(a -> b): La seconda funzione (g) che prende un valore di tipo a e restituisce un tipo b.
a -> c: Il risultato è una nuova funzione che trasforma direttamente un input a in un output c.
La Eta-Regola (Point-free Style)
La teoria permette di omettere i parametri se essi compaiono allo stesso modo a destra e a sinistra di un’equazione. Questa è nota come eta-regola. Grazie ad essa, possiamo scrivere definizioni in “point-free style”, concentrandoci sulla combinazione dei blocchi logici piuttosto che sulla manipolazione esplicita dei dati.
Ad esempio Ila funzione any può essere definita in diversi modi:
Versione estesa: myAny p xs = or (map p xs)
Uso della composizione: myAny p xs = (or . map p) xs
Applicazione della eta-regola: siccome xs è l’ultimo argomento di entrambi i lati, lo cancelliamo ottenendo myAny p = or . map p.
Nota: in questo caso la versione con l’eta regola può essere utilizzata soltanto con l’utlilizzo della composizione di funzione.
Ragionamento Equazionale
La composizione è fondamentale per provare la correttezza dei programmi. Un’equazione celebre è: map (f . g) = (map f) . (map g). Questa legge afferma che mappare una funzione composta su una lista è equivalente a mappare la prima funzione sul risultato della mappatura della seconda.
3. Utilizzi ed Esempi Pratici
Grandi Composizioni
La scrittura (f1 . f2 . f3) x è equivalente a f1 (f2 (f3 x)) ed è un modo pulito per evitare troppe parentesi annidate.
Trasformazioni Semplici
Possiamo comporre funzioni standard per manipolare liste in un colpo solo:
map ((*2) . length) ["I", "love", "haskell"]
Qui, per ogni stringa, viene prima calcolata la length (es. 7) e poi applicato il raddoppio (*2), ottenendo 14.
Definizione di Predicati ( any e all)
Le funzioni any (esiste un elemento che…) e all (tutti gli elementi…) sono definite componendo map con i riduttori booleani or e and:
