Indipendenza di Eventi

Index

1. Introduzione
2. Indipendenza tra 3 Eventi
3. Formula Generalizzata
4. Operazioni tra Eventi Indipendenti

Related

• Calcolo delle Probabilità (class)

---

Introduzione

Definizione

Due metodi si dicono indipendenti se:

$$E\perp \perp F⟺P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$

oss: notazione per indipendenza $E\perp \perp F$

Metodo Intuitivo $E$ e $F$ sono indipendenti se:

$$P(E|F)=P(E)\text{ e }P(F|E)=P(F)$$

Questa definizione ha vale soltanto se  $P(F)>0$ e  $P(E)>0$.

Osservazioni

1. se $E\perp \perp F⟹E^c\perp \perp F$
2. se $P(E)=0⟹E\perp \perp F$ per qualsiasi $F$

Esempio Eventi Dipendenti

Lancio 2 volte un dado

• $E=\text{il risultato del 1° lancio eˋ 4}$
• $F=\text{la somma dei lanci eˋ 6}$

Calcolare se $E$ ed $F$ sono indipendenti:

• $S=\{(a,b):a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}\}$
• $E=\{4\}$
• $F=\{(a,b)\in S:a+b=6\}=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}$

Quindi:

• $P(E)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{1}{6}$
• $P(F)=\frac{|F|}{|S\times S|}=\frac{5}{36}$
• $P(E\cap F)=P(\{4,2\})=\frac{|\{4,2\}|}{|S\times S|}=\frac{1}{36}$

Ora possiamo vedere se i due eventi sono indipendenti, utilizzando $E\perp \perp F⟺P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$:

$$\begin{array}{rl}P(E\cap F)& =P(E)\cdot P(F)\\ \frac{1}{36}& =\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{36}(falso)\end{array}$$

Quindi visto che $P(E\cap F)\ne P(E)\cdot P(F)$ allora $E$ e $F$ NON sono indipendenti.

Esempio Eventi Indipendenti

Lancio 2 volte un dado

• $E=\text{il risultato del 1° lancio eˋ 4}$
• $F=\text{la somma dei lanci eˋ 7}$

Calcolare se $E$ ed $F$ sono indipendenti:

• $S=\{(a,b):a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}\}$
• $E=\{4\}$
• $F=\{(a,b)\in S:a+b=7\}=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$

Quindi:

• $P(E)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{1}{6}$
• $P(F)=\frac{|F|}{|S\times S|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
• $P(E\cap F)=P(\{4,3\})=\frac{|\{4,3\}|}{|S\times S|}=\frac{1}{36}$

Ora possiamo vedere se i due eventi sono indipendenti, utilizzando $E\perp \perp F⟺P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$:

$$\begin{array}{rl}P(E\cap F)& =P(E)\cdot P(F)\\ \frac{1}{36}& =\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\\ \frac{1}{36}& =\frac{1}{36}(\text{vero})\end{array}$$

Quindi visto che $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$ allora $E$ e $F$ sono indipendenti.

---

Indipendenza tra 3 Eventi

Teorema

Se $E,F,G$ sono indipendenti, allora $E$ è indipendente da ogni evento costruito a partire da $F$ e $G$ usando: unione, intersezione, complementare.

---

Definizione: Dati 3 eventi $E,F,G$ si dice che sono indipendenti se:

• $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$
• $P(E\cap G)=P(E)\cdot P(G)$
• $P(F\cap G)=P(F)\cdot P(G)$
• $P(E\cap F\cap G)=P(E)\cdot P(F)\cdot P(G)$

Esempio

Lancio 2 volte un dado

• $E=\text{la somma dei lanci eˋ 7}$
• $F=\text{il disultato del 1° lancio eˋ 4}$
• $G=\text{il disultato del 2° lancio eˋ 3}$

Sappiamo dall’esempio precedente che $E\perp \perp F$, dobbiamo calcolare se $E\perp \perp G$

• $S=\{(a,b):a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}\}$
• $E=\{(a,b)\in S:a+b=7\}=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$
• $G=\{3\}$

Quindi:

• $P(E)=\frac{|E|}{|S\times S|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
• $P(G)=\frac{|G|}{|S|}=\frac{1}{6}$
• $P(E\cap G)=\frac{|E\cap G|}{|S\times S|}=\frac{|\{3,4\}|}{|S\times S|}=\frac{1}{36}$

Ora possiamo vedere se i due eventi sono indipendenti, utilizzando $E\perp \perp G⟺P(E\cap G)=P(E)\cdot P(G)$:

$$\begin{array}{rl}P(E\cap G)& =P(E)\cdot P(F)\\ \frac{1}{36}& =\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\\ \frac{1}{36}& =\frac{1}{36}(\text{vero})\end{array}$$

Quindi visto che $P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$ allora $E$ e $F$ sono indipendenti.

Ora calcoliamo se i tre eventi sono indipendenti:

• $P(E|E\cap F)=1$ → la probabilità che la somma dei risultati sia 7 sapendo che i dadi usciti sono 4 e 3
• $P(E)=\frac{1}{6}$ (come calcolato precedentemente)

Quindi visto che $P(E|E\cap F)\ne P(E)$ allora $E$, $F$, $G$ sono dipendenti ($E/\perp \perp F$)

---

Formula Generalizzata

Formula

Dati $n$ eventi $E_1,\dots ,E_n$, questi sono detti indipendenti se

$\forall A\subset \{1,2,\dots ,n\}$ con $A\ne \varnothing$:

$$P(\bigcap E_i)=\prod _{i\in A}P(E_i)$$

---

Operazioni tra Eventi Indipendenti

Intersezione

La probabilità dell’intersezione di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle singole probabilità.

Siano $A,B,C$ eventi tra loro indipendenti allora:

$$\begin{array}{rl}& P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\\ & P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\end{array}$$

Unione

La probabilità dell’unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle singole probabilità, meno la probabilità dell’intersezione.

Siano $A,B,C$ eventi tra loro indipendenti allora:

$$\begin{array}{rl}& P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)\end{array}$$

Questo formula è detta Principio di Inclusione ed Esclusione e fa parte delle Proposizioni della Probabilità.

Esempio Circuito