L2 Algebra

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Related

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Prodotto cartesiano

Definizione Matematica

$$X\times Y=\{(x,y):x\in X,y\in Y\}$$

dove $X\ne \varnothing ,Y\ne \varnothing$

oss

$$\begin{array}{rl}& -{\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\\ & -{\mathbb{R}}^n=\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^{n-1}\end{array}$$

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Corrispondenza

Mette in relazione 2 insiemi non vuoti

definizione Matematica

$$(X,Y,\Gamma )\subset (X,Y,X\times Y)$$

Dove $X,Y,\Gamma \ne \varnothing$ e $\Gamma \subset X\times Y$

oss

$X$ è chiamato dominio $Y$ è chiamato codominio

Relazione

una relazione è una corrispondenza dove $Y=X$ quindi:

$$R=(X,\Gamma )=(X,X,\Gamma )$$

Dove $\Gamma =X^2=X\times X$

Proprietà

Riflessiva

R si dice riflessiva se $\forall x\in X,xRx$

Ovvero: $\forall x\in X,(x,x)\in \Gamma$

Simmetrica

R si dice simmetrica se $\forall x,y\in X$ se $xRy$

Ovvero: $\forall (x,y)\in \Gamma ⟹(y,x)\in \Gamma$

Transitiva

R si dice riflessiva se $\forall x,y,z\in X,(xRyeyRx⟹xRz)$

Equivalenza

Se una relazione rispetta le proprietà allora si dice Di Equivalenza

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Esempi relazioni di equivalenza

Relazione di Uguaglianza

Una relazioni di uguaglianza è la più semplice relazione di equivalenza

$$R=(\mathbb{R},\Delta )$$

Dove$\Delta =\{(x,x):x\in \mathbb{R}\}$

se $xRy⟺x=y$

• è riflessiva $\forall x\in \mathbb{R},x=x$
• è simmetrica …
• è transitiva …

Rette parallele

• $X=\{\text{rette di }{\mathbb{R}}^2\}$
• $r,r^{\prime }\in X$
• $r\mid \mid r^{\prime }⟺r\text{ e }{r}^{\prime }\text{sono parallele}$

Proprietà:

• è riflessiva: $\text{ogni retta eˋ parallela con sestesa}$
• è simmetrica: $\text{se }r\mid \mid r^{\prime }\text{ sono parallele}$
• è transitiva: $r\mid \mid r^{\prime }\wedge r^{\prime }\mid r^{\prime \prime }$

Relazione di disuguaglianza

$$x\le y,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

• è riflessiva
• è simmetrica
• è transitiva
• è Totale

Relazione totale

Una relazione si dice totale quando …

Relazione di inclusione

Notare che $\subset$ è una relazione su $\{Y:y\in X\}$ è come $\le$, riflessiva, simmetrica e transitiva

Studio delle relazioni di equivalenza

Sia una relazione di equivalenza.

$$Cl(x)=\{y\in Xt.c.xRy\}\subset X$$

dove $x\in X$

notare che $Cl(X)\ne \varnothing$

$Cl(x)$ è la classe di equivalenza di $x$ e $x$ è un rappresentante di quella classe.

Alter notazioni per $Cl(x)$ sono:

• $[x]$
• $[x{]}_R$

Proposizione

data una relazione di equivalenza $R=(X,\Gamma )$

1. $x,y\in X$ allora $Cl(x)=Cl(y)⟺xRx$
2. $\forall x,y\in X$ allora:
   • o $Cl(x)=Cl(y)$
   • oppure $Cl(x)\cap Cl(y)=\varnothing$ (elementi disgiunti)

in particolare data una classe di equivalenza …

Dimostrazione

$Cl(x)=Cl(y)$ siccome $y\in Cl(y)$ ($R$ è riflessiva) si h che $y\in Cl(x)$

$⟹y\in Cl(x)⟹xRy$

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• $X=\varnothing$
• $\mathbb{P}$ è un insieme di sotto insiemi di $X$

$p\in \mathbb{P}⟹P\subset X$

Esempio

$$P(X):=\{P:P\subset X\}\text{ insime delle parti di }X$$

Si ha che $P\in x$