Probabilità Condizionata

Index

1. Probabilità Condizionata

• Proposizione 1
• Proposizione 2 (regola del prodotto)

2. Teorema di Bayes
3. Formula Probabilità Totale
4. Probabilità Totale + Beyes

Related

• Calcolo delle Probabilità (class)

TLDR

Legge della Probabilità Totale:

$$P(E)=P(F)\cdot P(E|F)+P(E^c)\cdot P(E|F^c)$$

Teorema di Beyes:

$$P(F|E)=\frac{P(F)\cdot P(E|F)}{P(E)}$$

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Probabilità Condizionata

Dati gli eventi $E$ ed $F$, con $P(F)>0$ si definisce la probabilità di $E$ condizionata a $F$ come:

$$P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}$$

Esempio

Si sta lanciando un dado e prendiamo in considerazione questi eventi:

• $E=\#\text{ Esce 1 o 2}$
• $F=\#\text{ Esce un nemero}\le 4$

Normalmente la probabilità di $E$ è $P(E)=\frac{1}{3}$, ma se vogliamo calcolare la probabilità di $E$ condizionata da $F$, allora otteniamo:

$$P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

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Proposizione 1

Se $S$ è finito e ha esiti equi-probabili allora:

$$P(E|F)=\frac{|E\cap F|}{|F|}$$

Con $P(F)$ positiva

Dimostrazione

$$P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{|E\cap F|}{|S|}}{\frac{|F|}{|S|}}=\frac{E\cap F}{F}$$

Esempio

Estraggo 3 carte da un mazzo da 40 senza rimpiazzo, sapendo che ho estratto solo carte di bastoni, qual è la probabilità di aver estratto un asso?

• $E=\#\text{ Estraggo un asso}$
• $F=\#\text{ Estraggo solo bastoni}$
• $S=\{A\subset M:|A|=3\}$ dove $M$ è un mazzo di carte

$$P(E|F)=\frac{|E\cap F|}{|F|}=\frac{1}{10}$$

oss: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)$ sono le terne non ordinate di bastoni dove non c’è l’asso

Esempio

Ho un dado truccato dove 1 esce con probabilità $\frac{1}{2}$​ mentre gli altri numeri $\frac{1}{10}$​, qual è la probabilità che esca 1 o 2 sapendo che è uscito un numero $\le 4$.

• $E=\#\text{ Esce 1 o 2}=\{1,2\}$
• $F=\#\text{Esce un numero}\le 4=\{1,2,3,4\}$
• $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

Dove:

• $E\cap F=\{1,2\}⟹P(E\cap F)=P(\{1\})+P(\{2\})=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=\frac{3}{5}$
• $P(F)=P(\{1,2,3,4\})=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\cdot 3=\frac{4}{5}$

Quindi:

$$P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$$

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Proposizione 2 (regola del prodotto)

Formula Generale

Siano $E_1,\dots ,E_n$ eventi, allora:

$$\begin{array}{rl}& P(E_1\cap \cdots \cap E_n)=P(E_1)\cdot P(E_2|E_3)\cdot P(E_3|E_1\cap E_2)\cdot \cdots \cdot P(E_n|E_1\cap \cdots \cap E_{n-1})\end{array}$$

Supponendo che $P(E_1>0,P(E_1\cap E_2)>0,\dots ,P(E_1\cap \cdots \cap E_{n-1})>0)$

Casi Comuni

$$\begin{array}{rl}& n=2\to P(E_1\cap E_2)=P(E_2)\cdot P(E_1|E_2)\\ & n=3\to P(E_1\cap E_2\cap E_3)=P(E_1)\cdot P(E_2|E_1)\cdot P(E_3|E_1\cap E_2)\end{array}$$

Esempio

Estraggo 3 carte senza rimpiazzo da un mazzo da 40, qual è la probabilità che la prima carta è di bastoni, la seconda di denari e la terza di bastoni.

$G=\#\text{ 1° carta bastoni, 2° carta denari, 3° carta bastoni}$

Calcolare $P(G)$

$G=E_1\cap E_2\cap E_3$

Dove:

• $E_1=1°\text{carta eˋ Bastoni}$
• $E_2=2°\text{carta eˋ Denara}$
• $E_3=3°\text{carta eˋ Bastoni}$

Per regola del prodotto:

$$P(G)=P(E_1\cap E_2\cap E_3)=P(E_1)\cdot P(E_2|E_1)\cdot P(E_3|E_1\cap E_2)=\frac{10}{40}\cdot \frac{10}{39}\cdot \frac{9}{38}$$

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Teorema di Bayes

Tra due eventi $A$ e $B$

$$P(A|B):=\frac{P(A\cap B)}{B}=\boxed{\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}}$$

Formula Generalizzata

$$P(F_i|E)=\frac{P(F^i)\cdot P(E|F_i)}{\sum _{j=i}^{n}P(F_j)\cdot P(E|F_j)}$$

Esempio Formula Generalizzata (aerei)

Un aereo è scomparso e si presumere che possa essere con uguale probabilità in tre possibili zone ($Z_1,Z_2,Z_3$)

Indichiamo con:

• ${\beta }_i$ la probabilità di NON trovare l’aereo in $Z_i$, se è realmente in $Z_i$
• $1-{\beta }_i$ la probabilità di trovare l’aereo in $Z_1$, se è effettivamente in $Z_i$
• $R_i=\#\text{l’aereo eˋ in }{Z}_i$
• $E=\text{la ricerca in }{Z}_1\text{ha dato esito negativo}$

Calcolare la probabilità che l’aereo sia in $Z_1$, sapendo che la ricerca in $Z_1$ ha dato esito negativo:

oss: $P(R_1)=P(R_2)=P(R_3)=\frac{1}{3}$

$$P(R_1|E)=\frac{P(E\cap R_1)}{P(E)}=\frac{P(R_1)\cdot P(E|R_1)}{P(E)}=\frac{P(R_1)\cdot P(E|R_1)}{\sum _{k=1}^{3}P(R_k)\cdot P(E|R_k)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot {\beta }_1}{\frac{1}{3}{\beta }_1+\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 1}=\frac{{\beta }_1}{{\beta }_1+2}$$

Adesso calcoliamo la probabilità che l’aereo sia in $Z_1$ o in $Z_2$, prendendo $j=1,2$

$$P(R_j|E)=\frac{P(R_j)\cdot P(E|R_j)}{P(E)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{3}{\beta }_1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{{\beta }_1+1}$$

oss: La formula mostra che la probabilità condizionale è $\frac{1}{{\beta }_1+1}$​, che dipende dalla probabilità di non trovare l’aereo in $Z_1$​ se è effettivamente in $Z_1$​ (rappresentata da ${\beta }_1$​).

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Formula Probabilità Totale

Dati $E,F$ eventi, allora:

$$P(E)=P(F)\cdot P(E|F)+P(F^c)\cdot P(E|F^c)$$

Dimostrazione

$E=(E\cap F)\cup (E\cap F^c)$

Quindi dato che sono incompatibili:

$$P(E)=P(E\cap F)+P(E\cap F^c)\stackrel{\text{regola del prodotto}}{=}P(F)\cdot P(E|F)+P(F^c)\cdot P(E|F^c)$$

Formula Generalizzata

Siano $F_1,\dots ,F_n$ eventi 2 a 2 disgiunti (cioè incompatibili) tali che $S=\bigcup _{i=1}^n{f}_i$

Allora per ogni $E$ vale:

$$P(E)=\sum _{i=1}^{n}P(F_i)\cdot P(E|F_i)$$

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Proposizione 3

Sia $F$ evento con $P(F)>0$, Allora la funzione $R\to P(F|F)$ , al variare di $E$ eventi, è una funzione di probabilità

Conseguenze

• $P(E^c|F)=1-P(E|F)$
• $P(A\cup B|F)=P(A|F)+P(B|F)-P(A\cap B|F)$
• $A_1,\dots ,A_n$ eventi 2 a 2 disgiunti allora:

$$P\left(\bigcup _{i=1}^n\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i|F)$$