Rapporto a Favore

Definizione

Il Rapporto a Favore di un evento A è definito come il rapporto tra la probabilità che l’evento A si verifichi e la probabilità che l’evento A non si verifichi. In altre parole, è il rapporto tra la probabilità di successo e la probabilità di insuccesso.

Matematicamente, il rapporto a favore di un evento $A$ è definito come:

$$\frac{P(A)}{P(A^c)}=\frac{P(A)}{1-P(A)}$$

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Esempi

Esempio Partita

Prendiamo una partita tra l’Italia e il Brasile, dove la vittoria dell’Italia è data 1 a 5. Con questo si intende che il rapporto a favore della vittoria dell’italia è $\frac{1}{5}$.

In termini matematici L’evento $A=\text{\#l’italia vince la partita}$ ha come rapporto a favore:

$$\frac{P(A)}{P(A^c)}=\frac{1}{5}$$

Conoscendo il rapporto a favore dell’ evento $A$ possiamo calcolare la sua probabilità $P(A)$:

$$\begin{array}{rl}& \frac{P(A)}{P(A^c)}=\frac{P(A)}{1-P(A)}\\ & \frac{1}{5}=\frac{P(A)}{1-P(A)}\\ & \frac{1}{5}\cdot (1-P(A))=P(A)\\ & \frac{1}{5}-\frac{1}{5}P(A)=P(A)\\ & \frac{1}{5}=P(A)+\frac{1}{5}P(A)\\ & \frac{1}{\cancel{5}}=\frac{6}{\cancel{5}}P(A)\\ & P(A)=\frac{1}{6}\end{array}$$

oss: $P(A^c)=1-P(A)=\frac{5}{6}$

Esempio Criminologia

E’ avvenuto un omicidio e i principale indagato è Mario. Dove $P(H)$ è la probabilità che Mario sia assassino basata sulle attuali prove.

Una nuova prova $E$ è stata trovata, possiamo ricalcolare la probabilità che mario sia l’assassino prendendo in considerazione la nuova prova in questo modo:

$$P(H|E)$$

Possiamo calcolare come la nuova prova $E$ abbia influenzato il rapporto a favore dell’evento $H$, facendo:

$$\frac{P(H|E)}{P(H^c|E)}$$

Mentre il rapporto a favore precedente alla nuova prova era:

$$\frac{P(H)}{P(H^c)}$$

Inoltre per il teorema di Bayes sappiamo che:

$$P(H|E)=\frac{P(H)\cdot P(E|H)}{P(E)}$$

E che:

$$P(H^c|E)=\frac{P(H^c)\cdot P(E|H^c)}{P(E)}$$

Quindi è possibile calcolare il rapporto $fracP(H|E)P(H^c|E)$ come:

$$\frac{P(H|E)}{P(H^c|E)}=\frac{\frac{P(H)\cdot P(E|H)}{P(E)}}{\frac{P(H^c)\cdot P(E|H^c)}{P(E)}}=\frac{P(H)}{P(H^c)}\cdot \frac{P(H|E)}{P(H^c|E)}$$

Che può essere visto come:

$$\text{Vecchio Rapporto}\cdot \frac{P(H|E)}{P(H^c|E)}$$

Il nostro rapporto a favore quindi aumenta se $P(E|H)>P(E|H^c)$ ovvero se il loro rapporto > 1. Aumenta se appunto l’ipotesi è vera piuttosto che quando è falsa.