Definizioni
- Assioma
- Sistema Assiomatico
- “istanza” di un assioma
- [[#regola-di-inferenza-modus-ponens|Regola di inferenza Modus Ponens]]
- Dimostrazioni all’interno di un sistema assiomatico
- Teorema in un sistema assiomatico
- Derivazione in un sistema assiomatico
Assioma
Un assioma è una proposizione che si ritiene vera per evidenza, gli vengono utilizzati come fondamenta per costruire teoremi
Sistema Assiomatico
Un sistema assiomatico è una famiglia di assiomi e delle regole di inferenza con cui dedurre nuove formule a partire dagli assiomi
”istanza” di un assioma
Un “istanza” di un assioma è una formula che otteniamo sostituendo formule ben formate alle variabili (lettere proposizionali) dell’assioma
Esempio:
oss: (1) è sempre una tautologia e per dimostralo basta osservare che (1) è un istanza dell assioma (0)
Regola di inferenza Modus Ponens
Regola: Se abbiamo la formula X e la formula X⇒Y, allora possiamo dedurre la formula Y
Oss: se X e X⇒Y sono tautologie allora anche Y sarà una tautologia
Dimostrazioni all’interno di un sistema assiomatico
- Sia S un sistema assiomatico
- Una dimostrazione in S è una sequenza di formule in cui ogni formula o è un istanza di un assioma oppure deriva dalle precedenti formule utilizzando la regola di inferenza
Teorema in un sistema assiomatico
un teorema in un sistema assiomatico è l’ultima formula di una dimostrazione
Esempio:
Derivazione in un sistema assiomatico
- Derivare una formula F da un insieme E di formule è una sequenza di formule in cui ogni formula è
- o un istanza di un assioma
- o è una delle formule di E
- oppure deriva dalle precedenti tramite una regola di inferenza
Oss: Le formule contenute da E si chiamano Ipotesi
Scrittura:
- Significato: Dall’ insieme di formule E deriva la formula F nel sistema S