Terza Forma Normale (3NF)

---

Introduzione

La terza forma normale è importante perché aiuta a ridurre la ridondanza dei dati e a migliorare la coerenza dei dati. Inoltre, essa facilita la gestione e la manutenzione dei dati, poiché riduce il numero di modifiche che devono essere apportate in caso di aggiornamenti o cancellazioni di dati.

Definizione

Dati uno schema di relazione $R$ e un insieme di dipendenze funzionali $F$ su $R$,

$R$ è in 3NF se:

$$\forall X\to A\in F^{+},A\notin X$$

Dove almeno una di queste due condizioni è verificata:

• $A$ appartiene a una chiave (è primo)

• $X$ contiene una chiave (è una super chiave)

oss: È sbagliato scrivere $\forall X\to A\in F$ perché poi non sapremmo come valutare dipendenze del tipo $X\to AB$ ovvero con 2 o più attributi a destra, infatti in $F^{+}$ una dipendenza del tipo $X\to AB$ possiamo scomporla in $X\to A$ e $X\to B$.

Esempio 1

$R=ABCD$ $F=\{AC\to B,B\to AD\}$

Le chiavi sono $AC$ e $BC$

Valutiamo le dipendenze in $F$:

• $AC\to B$ va bene ($AC$ è una super-chiave)

Ora non possiamo valutare $B\to AD$ perché il determinante $B$ non è super-chiave e per valutare il dipendente (parte destra) deve essere un singleton. Quindi dobbiamo dividere $B\to AD$ in $B\to A$ e $B\to D$ dipendenze che non sono in $F$ ma sono in $F^{+}$.

Valutiamo le dipendenze in $F^{+}$:

• $B\to A$ va bene ($A$ fa parte di una chiave quindi è detto primo)
• $B\to D$ non rispetta la 3NF perché $B$ non è super-chiave e $D$ non è primo.

Quindi lo schema non è in 3NF.

Esempio 2

$R=ABCD$ $F=\{AB\to CD,BC\to A,D\to AC\}$

Abbiamo tre chiavi $AB$, $BC$ e $DB$.

Valutiamo le dipendenze in $F$:

• $AB\to CD$ va bene ($AB$ è super-chiave)
• $BC\to A$ va bene ($BC$ è super-chiave e inoltre $A$ è primo)

Ora non possiamo valutare $D\to AC$ perché il determinante $D$ non è super-chiave e per valutare il dipendente (parte destra) deve essere un singleton. Quindi dobbiamo dividere $D\to AC$ in $D\to A$ e $D\to C$ dipendenze che non sono in $F$ ma sono in $F^{+}$.

Valutiamo le dipendenze in $F^{+}$:

• $D\to A$ va bene ($A$ è primo)
• $D\to C$ va bene ($C$ è primo)

Quindi lo schema è in 3NF.

Nota importante

Non è sufficiente considerare solo le dipendenze funzionali in $F$ , poiché non possiamo gestire le dipendenze con più attributi al dipendente (parte a destra). Invece, dobbiamo considerare le dipendenze funzionali in $F^{+}$, che includono anche le dipendenze derivate.

Definizione Alternativa

Siano R uno schema di relazione e F un insieme di dipendenze funzionali su R. Uno schema R è in 3NF se e solo se non esistono né dipendenze parziali né transitive in R.

Dimostrazione di equivalenza con definizione originale

---

Dipendenze Parziali e Transitive

Dipendenze Parziali

Siano $R$ uno schema di relazione e $F$ un insieme di dipendenze funzionali su $R$.

$X\to A\in F^{+}$ è una dipendenza parziale se:

• $X$ è super chiave (contenuto in una chiave)
• $A$ non è primo (non è contenuto da una chiave)

Ovvero: un attributo di una relazione dipende solo da una parte della chiave primaria.

Esempio

$\text{Curriculum}(\text{Matr},\text{CF},\text{Cogn},\text{Nome},\text{DataN},\text{Com},\text{Prov},\text{C\#},\text{Tit},\text{Doc},\text{DataE},\text{Voto})$

Dove:

• Le chiavi sono Matr e C#.
• Ad ogni numero di matricola (Matr) corrisponde un solo cognome (Cogn)

Quindi è possibile determinare la dipendenza Matr C# $\to$ Cogn e questa dipendenza è detta parziale.

Per capirlo meglio abbiamo che l’attributo cognome Cogn dipende parzialmente dalla chiave Matr C# ovvero non serve la chiave intera per determinarlo ma soltanto una parte della chiave, infatti Matr è una parte dalla chiave e determina Cogn.

Dipendenze Transitive

Siano $R$ uno schema di relazione e $F$ un insieme di dipendenze funzionali su $R$.

$X\to A\in F^{+}$ è una dipendenza transitiva su $R$ se:

• $A$ non è primo
• Per ogni chiave $K$ di $R$ abbiamo che $X$ non è contenuto propriamente in $K$ e $K-X\ne \varnothing$

Ovvero: un attributo di una relazione dipende transitivamente da un’altra parte della relazione che a sua volta dipende dalla chiave primaria.

Esempio

$\text{Studente}(\text{Matr},\text{CF},\text{Cogn},\text{Nome},\text{Data},\text{Com},\text{Prov})$

Dove:

• La chiave è Matr e CF.
• Ad un numero di matricola corrisponde un solo comune di nascita Matr $\to$ Com.
• Un comune si trova in una sola provincia Com $\to$ Prov.

Quindi possiamo dire che Matr $\to$ Prov ovvero che ad una matricola corrisponde una sola provincia.

In questo caso, la dipendenza transitiva è Com $\to$ Prov, poiché fa sì che l’attributo provincia dipenda transitivamente dalla chiave $\text{Matr}$ attraverso la dipendenza Matr $\to$ Com e Com $\to$ Prov.

La dipendenza Com $\to$ Prov è detta dipendenza transitiva perché “causa” la transitività, ovvero fa sì che l’attributo provincia dipenda da un’altra parte della relazione che a sua volta dipende dalla chiave primaria.