Variabile Aleatoria Gaussiana

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Introduzione

Una variabile aleatoria gaussiana (o normale), è una variabile aleatoria che segue una distribuzione di probabilità normale, anche nota come distribuzione gaussiana.

Questa distribuzione è caratterizzata da una curva a campana simmetrica intorno alla media, con una probabilità maggiore di osservare valori vicini alla media e una probabilità minore di osservare valori più lontani dalla media.

La distribuzione gaussiana è completamente determinata da due parametri:

• La media ($\mu$), che rappresenta il valore centrale della distribuzione
• La varianza (${\sigma }^2$), che rappresenta la dispersione dei valori intorno alla media

Definizione

Una v.a. $X$ è detta gaussiana (o normale) di media $\mu \in \mathbb{R}$ e con varianza ${\sigma }^2>0$ se è una v.a. continua con funzione di densità:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\cdot e^{\frac{-(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Se $\mu =0$ e ${\sigma }^2=1$ allora $X$ è detta Gaussiana Standard dove:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$$

Notazione

Una v.a. $X$ continua gaussiana di media $\mu \in R$ con varianza ${\sigma }^2>0$ è indicata con:

$$X=\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$

oss: $\mu =E[x]$ e ${\sigma }^2=\text{Var}(x)$

Gaussiana ben definita

La v.a. gaussiana è ben definite, ovvero esiste, se $f\ge 0$ e $1={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$

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Funzione di distribuzione

Sia $X=\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ calcoliamo $F(x)$ ovvero $P(X)\le x$:

$$P(X<x)={\int }_{-\infty }^{x}f(z)dz=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(z-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dz$$

Funzione di distribuzione gaussiana standard

Sia $X=\mathcal{N}(0,1)$ invece di scrivere $F(x)$ scriviamo $\Phi (x)$:

$$\Phi (X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{z^2}{z}}dz$$

Sul libro sono presenti valori di $\Phi (x)$ per $x$ maggiori di 0, se vogliamo trovare il valore negativo basta fare $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$.

oss: $\Phi (x)=P(Z\le x)$

Esempio

Sia $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$

$$\begin{array}{rl}P(|Z|\ge 2)& =P(Z\le -2\text{ o }Z\ge 2)\\ & =P(Z\le -2)+P(Z\ge 2)\end{array}$$

Abbiamo che:

• $P(Z\le -2)=\Phi (-2)=1-\Phi (2)$
• $P(Z\ge 2)=1-P(Z<2)=1-\Phi (2)$

Quindi:

$$P(|Z|\ge 2)=2\cdot (1-\Phi (2))=2\cdot (1-0.9772)=2(0.0228)=0.0456=4,56$$

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Proposizioni

Prop 1

Siano $\mu \in \mathbb{R}$, ${\sigma }^2>0$ e $Z=\mathcal{N}(0,1)$, allora:

$$Y:=\pm \sigma Z+\mu$$

Dove possiamo calcolare:

• $E[Y]=E[\sigma Z+\mu ]=\sigma E[Z]+\mu =\sigma \cdot 0+\mu =\mu$
• $\text{Var}(Y)=\text{Var}(\sigma Z+\mu )={\sigma }^2\cdot Z\cdot \text{Var}(Z)={\sigma }^2\cdot 1={\sigma }^2$

Prop 2

$$Y=\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)⟹\frac{Y-\mu }{\sigma }=\mathcal{N}(0,1)$$

Esempio

Sia $Y=\mathcal{N}(3,16)$, usando $\Phi$ calcolare $P(Y\ge 10)$

Per calcolare $P(Y\ge 10)$ di $Y=\mathcal{N}(3,16)$, possiamo utilizzare la proprietà data:

In questo caso, abbiamo:

• $\mu =3$
• ${\sigma }^2=16$
• $\sigma =\sqrt{16}=4$

Vogliamo calcolare $P(Y\ge 10)$. Per farlo, possiamo trasformare $Y$ in una variabile standardizzata $Z$, utilizzando la proprietà data:

$$Z=\frac{Y-\mu }{\sigma }=\frac{Y-3}{4}$$

Quindi, $P(Y\ge 10)$ è equivalente a

$$P\left(Z\ge \frac{10-3}{4}\right)=P\left(Z\ge \frac{7}{4}\right)=P(Z\ge 1,75)$$

Utilizzando una tabella di distribuzione standardizzata (Z-table), possiamo trovare il valore di $P(Z\ge 1,75)$. La probabilità è uguale a $1-P(Z\le 1,75)$.

Dalla tabella, troviamo che $P(Z<1,75)\approx 0,9599$. Quindi, $P(Z\ge 1,75)\approx 1-0,9599\approx 0,0401$.

Quindi, $P(Y\ge 10)\approx 0,0401$