Variabile Aleatoria Geometrica

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Variabile Geometrica

Una variabile aleatoria geometrica è una variabile aleatoria che rappresenta il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo in una sequenza di prove indipendenti, ognuna delle quali ha una probabilità di successo costante.

Notazione

Indichiamo una v.a. geometrica $X$ di parametro $p$ con:

$$X=\text{Geom}(p)$$

Dove $p$ indica la probabilità di successo in ogni prova.

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Formule

Densità di Probabilità Discreta

La probabilità di ottenere il primo successo alla $k$-esima prova è data dalla formula:

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}\cdot p$$

oss: $P(k=\infty )=0\to \text{probabilitaˋ che non ci sia mai un successo}$

Dim (da fare)

Valore Atteso

$$E[X]=\frac{1}{p}$$

Dim (da fare)

Varianza

$$\text{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$$

Dim (da fare)

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Esempi

Esempio 1

Supponiamo di avere una moneta truccata che ha una probabilità di testa del 20% ($p=0,2$). Sia $X$ la variabile aleatoria che rappresenta il numero di lanci necessari per ottenere la prima testa.

Determinare:

1. Probabilità di ottenere la prima testa al primo lancio
2. Probabilità di ottenere la prima testa al secondo lancio
3. Probabilità di ottenere la prima testa al terzo lancio
4. Valore atteso di $X$
5. Varianza di $X$

1. Probabilità di ottenere la prima testa al primo lancio:

$$P(X=1)=(1-p{)}^{1-1}\cdot p=p=0,2$$

2. Probabilità di ottenere la prima testa al secondo lancio:

$$P(X=2)=(1-p{)}^{2-1}\cdot p=(1-p)\cdot p=0,16$$

3. Probabilità di ottenere la prima testa al terzo lancio:

$$P(X=3)=(1-p{)}^{3-1}\cdot p=(1-p{)}^2\cdot p=0,128$$

4. Valore atteso di $X$:

$$E[X]=\frac{1}{p}=\frac{1}{0,2}=5$$

5. Varianza di $X$:

$$\text{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{1-0,2}{0,2^2}=20$$

Esempio 2

Lanciamo un dado fino a quando esce il numero 6.

Calcolare il valore atteso del numero di lanci effettuati:

• $X=\text{Lanci effettuati fino al primo 6}=Geom(p)$
• $p=P(\text{esce 6})=\frac{1}{6}$

$$E[X]=\frac{1}{\frac{1}{p}}=\frac{1}{\frac{1}{6}}=6$$

Calcolare la probabilità di aver effettuato almeno 7 lanci:

$$P(X=7)=(p{)}^{k-1}={\left(\frac{5}{6}\right)}^6$$