Variabile Aleatorie Ipergeometrica

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Variabile Aleatoria Ipergeometrica

Una variabile aleatoria ipergeometrica è una variabile aleatoria che rappresenta il numero di successi in una sequenza di prove senza sostituzione, dove ogni prova ha una probabilità di successo costante.

Notazione

Indichiamo una v.a. ipergeometrica $X$ di parametri $N,K,n$ con:

$$X=\text{Hyp}(N,K,n)$$

Dove:

• $N$ è il numero totale di oggetti
• $K$ è il numero di oggetti “successo”
• $n$ è il numero di prove

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Formule

Densità di Probabilità Discreta

La probabilità di ottenere $k$ successi in $n$ prove è data dalla formula:

$$P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$$

Calcolo Valore Atteso

$$E[X]=\frac{n\cdot K}{N}$$

Varianza

$$\text{Var}(X)=np\cdot (1-p)\cdot \left(1-\frac{n-1}{N-2}\right)$$

Dove $p=\frac{m}{N}$

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Esempi

Esempio 1

Supponiamo di avere un’urna con 10 palline, di cui 4 sono rosse e 6 sono bianche. Estraiamo 3 palline senza sostituzione. Sia $X$ la variabile aleatoria che rappresenta il numero di palline rosse estratte.

$$X=Hyp(N=10,K=4,n=3)$$

Determinare:

1. Probabilità di ottenere 0 palline rosse
2. Probabilità di ottenere 1 pallina rossa
3. Probabilità di ottenere 2 palline rosse
4. Probabilità di ottenere 3 palline rosse
5. Valore atteso di $X$
6. Varianza di $X$

1. Probabilità di ottenere 0 palline rosse:

$$P(X=0)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)}=\frac{1\cdot 20}{120}=\frac{1}{6}$$

2. Probabilità di ottenere 1 pallina rossa:

$$P(X=1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)}=\frac{4\cdot 15}{120}=\frac{1}{2}$$

3. Probabilità di ottenere 2 palline rosse:

$$P(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)}=\frac{6\cdot 6}{120}=\frac{1}{2}$$

4. Probabilità di ottenere 3 palline rosse:

$$P(X=3)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)}=\frac{4\cdot 1}{120}=\frac{1}{30}$$

5. Valore atteso di $X$:

$$E[X]=\frac{3\cdot 4}{10}=\frac{6}{5}$$

6. Varianza di $X$:

$$\text{Var}(X)=\frac{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7}{10^2\cdot 9}=\frac{14}{25}$$