Variabili Aleatorie Identicamente Distribuite

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Introduzione

È possibile avere delle variabili aleatorie diverse, con spazzi campionari diversi ma che hanno la stessa distribuzione, vediamo un esempio:

Caso 1:

Abbiamo un mazzo da 40 carte, estraiamo una carta e definiamo:

$$X=\{\begin{array}{ll}1& \text{se estraggo Bastoni o Coppe}\\ & \\ 0& \text{altimenti}\end{array}$$

Come spazio campionario abbiamo il mazzo di carte e quindi esiti, quindi calcoliamo:

$$P(X=1)=\frac{1}{2}P(X=0)=\frac{1}{2}$$

Caso 2:

Abbiamo una moneta, lanciamola e definiamo:

$$Y=\{\begin{array}{ll}1& \text{se estraggo Testa (T)}\\ & \\ 0& \text{se esce Croce (C)}\end{array}$$

Come spazio campionario abbiamo $S=\{T,C\}$, quindi calcoliamo:

$$P(X=1)=\frac{1}{2}P(X=0)=\frac{1}{2}$$

Notiamo che X,Y sono v.a. distinte e anche con funzioni definite anche su spazi campionari diversi, nonostante questo assumono gli stessi valori con le stesse probabilità.

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Definizione

Definizione

Date v.a. $X:S\to \mathbb{R}$ e $Y:S^{\prime }\to \mathbb{R}$, $X$ e $Y$ sono dette identicamente distribuite se:

$$P(X\in A)=P(Y\in A)\forall A\subset \mathbb{R}$$

Prop. Discrete

Siano $X$ e $Y$ v.a. discrete (anche con spazzi campionari diversi) allora:

$$X\text{ e }Y\text{ sono }I.D.⟺p_X=p_Y$$

oss: P.I. = Identicamente Distribuite

Dim

Sappiamo che se $X$ è v.a. discreta che assume valori $\{x_i{\}}_{i\in I}$ allora $P(X\in A)=P(X\in A\cap \{x_i{\}}_{i\in I})$ che è equivalente a:

$$P\left(\bigcup _{i:x_i\in A}\{X=x_i\}\right)=\sum _{i:x_i\in A}P(X=x_i)=\sum _{i:x_i\in A}{p}_X(x_i)=\sum _{X\in A}{p}_X$$

In conclusione quindi $P(X\in A)={\sum }_{x\in A}{p}_X(x)$

Ora definiamo $X$ e $Y$ due v.a. discrete e supponiamo che $p_X=p_Y$, allora per quanto appena visto possiamo dire che:

$$P(X\in A)=\sum _{x\in A}{p}_X(x)\underset{p_X=p_Y}{=}\sum _{x\in A}{p}_Y(x)=P(Y\in A)$$

Abbiamo provato quindi che due v.a. discrete $X$ e $Y$ con $p_X=p_Y$​ sono identicamente distribuite e si può provare anche il viceversa.

Prop. Continue

Siano $X$ e $Y$ v.a. continue (anche con spazi campionari diversi) chiamiamo $f_X$​ e $f_Y$​ le rispettive funzioni di densità di probabilità, allora:

$$X\text{ e }Y\text{ sono }I.D.⟺f_X=f_Y\text{(quasi ovunque)}$$

Dim

Siano $X$ e $Y$ due v.a. discrete e supponiamo che $f_X=f_Y$, allora:

$$P(X\in A)={\int }_A\frac{f_X}{x}dx\underset{f_X=f_Y}{=}{\int }_A{f}_Y(x)dx=P(Y\in A)$$

Abbiamo provato quindi che due v.a. discrete $X$ e $Y$ con $f_X=f_Y$​ sono identicamente distribuite e si può provare anche il viceversa.

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Teorema di De Moivre - Laplace

Fissiamo $p\in (0,1)$