Casi Specifici (Integrali Razionali)

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Index

1. Caso Numeratore Derivata del Denominatore
2. Caso Numeratore Costante, Denominatore 1° Grado
3. Caso Numeratore Costante, Denominatore Quadrato
4. Caso {dx+e} / {ax {2}+bx+c}

Related

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• Integrali di Funzioni Razionali
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Caso Numeratore Derivata del Denominatore

Metodo

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln (f(x))+c$$

Esempi

$$\begin{array}{rl}& 1)\int \frac{2x}{x^2-5}dx=\ln |x^2-5|+c\\ & 2)\int \frac{x^3}{x^3+1}dx=\frac{1}{4}\int \frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{1}{4}\cdot \ln |x^4-1|+c\end{array}$$

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Caso Numeratore Costante, Denominatore 1° Grado

Metodo

1. Porte fuori la costante dal numeratore
2. Moltiplichiamo e dividiamo per un determinato valore per ottenere la derivate del Denominatore (al numeratore)
3. Risolvere usando metodo Numeratore Derivata del Denominatore

Esempio

$$\int \frac{3}{2x-1}dx=3\int \frac{1}{2x-1}dx=\frac{3}{2}\int \frac{2}{2x-1}dx=\frac{3}{2}\cdot \ln |2x-1|+c$$

Generalizzazione

$$\int \frac{k}{ax+b}dx=\frac{k}{a}=\frac{k}{a}\cdot \ln |ax+b|+c$$

Dove $k,a$ e $b$ sono delle costanti.

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Caso Numeratore Costante, Denominatore Quadrato

Formula

$$\int \frac{k}{[f(x){]}^2}dx=\frac{k}{f^{\prime }(x)}\cdot \frac{[f(x){]}^{-1}}{-1}+c$$

Dimostrazione

$$\int \frac{k}{[f(x){]}^2}dx=\frac{k}{f^{\prime }(x)}\cdot \int f^{\prime }(x)\cdot [f(x){]}^{-2}dx=\frac{[f(x){]}^{-1}}{-1}+c$$

Basta ricordare che:

• $\frac{1}{[f(x{)}^2]}=[f(x{)}^2{]}^{-2}$
• $\int f^{\prime }(x)\cdot [f(x){]}^{n}dx=\frac{[f(x){]}^{n+1}}{n+1}+c$

Esempio

$$\int \frac{5}{(2x-1{)}^2}dx=\frac{5}{2}\int 2(2x-1{)}^{-2}dx=\frac{5}{2}\frac{(2x-1{)}^{-1}}{-1}+c$$

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Caso Numeratore Costante, Denominatore 2° Grado

Formula

Se incontriamo integrale nella forma:

$$\int \frac{k}{a{x}^2+bx+c}dx\text{ con }\Delta <0$$

Allora:

$$\int \frac{k}{a{x}^2+bx+c}dx=\frac{2k\cdot \arctan \left(\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}\right)}{\sqrt{-\Delta }}$$

Esempio

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Caso Numeratore 1°, Denominatore 2° Grado

Metodo

Se incontriamo integrale nella forma:

$$\int \frac{dx+e}{a{x}^2+bx+c}dx\text{ con }\Delta <0$$

Questi integrali vanno ricondotto, facendo i dovuti rimaneggiamenti, ad integrali del tipo:

• $\int \frac{f^{\prime }(x)}{1+[f(x){]}^2}dx=\text{arctg}[f(x)]+c$
• $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+c$

Esempio 1

Esempio 2