Definizioni e Assiomi della Probabilità

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Definizione di Probabilità

Una definizione semplice di probabilità è:

$$P=\frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$$

Inconveniente di questa definizione

1. Funziona soltanto se tutti i casi possibili sono Equi-Probabili
2. È una definizione Circolare. Questa definizione richiede che tutti i casi abbiano la stessa $\text{probabilitaˋ}$ ma è proprio quello che stiamo provando a definire.
3. Funziona soltanto se si utilizza un numero finito di casi.

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Spazio Campionario

Definizione

Lo spazio campionario rappresenta l’insieme di tutti possibili esiti di un esperimento,

$$\text{Simbolo Matematico: S}$$

Esempio

Se l’esperimento è il lancio di un dado, lo spazio campionari di questo esperimento è:

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

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Evento

Un evento è descritto matematicamente da un sotto insieme di uno spazio campionario, in particolare rappresenta tutto gli esiti che realizzano l’evento.

Esempio

Esperimento: Lancio del dado Spazio Campionario: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

L’evento “esce un numero pari” è descritto dall’insieme $\{2,4,6\}\subset S$

Probabilità di un evento

La probabilità di un evento $E$ si rappresenta con $P(E)$ ed è un valore compreso tra 0 e 1, dove 0 indica che l’evento è impossibile e 1 che è certo.

Tipologie di Eventi

Evento Certo

Un evento è detto certo se contiene tutti gli elementi dello spazio campionario. In altre parole, un evento è certo se si verifica con certezza.

$$\text{Evento certo: }A=S$$

Esempio Esperimento: Lancio del dado Spazio Campionario: $S={1,2,3,4,5,6 }$$

L’evento “esce un numero” è descritto dall’insieme $\{1,2,3,4,5,6\}$ es è uguale a $S$, quindi è un evento certo.

Evento Impossibile

Un evento è detto impossibile se è vuoto, ovvero non contiene alcun elemento dello spazio campionario. In altre parole, un evento è impossibile se non si verifica mai.

$$\text{Evento impossibile: }A=\varnothing$$

Esempio Esperimento: Lancio del dado Spazio Campionario: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

L’evento “esce un numero maggiore di 6” è descritto dall’insieme $\varnothing$, quindi è un evento impossibile.

Evento Complementare

Un evento $E^c$ è detto complementare di un altro evento $E$, se è l’insieme di tutti gli elementi dello spazio campionario che non sono in quell’evento.

$$E^c=S\setminus E$$

Esempio Esperimento: Lancio del dado Spazio Campionario: $S=1,2,3,4,5,6$

L’evento “esce un numero pari” è descritto dall’insieme $E=\{2,4,6\}$. L’evento complementare di E è $E^c=\{1,3,5\}$.

Evento Incompatibile

Due eventi $E$ ed $F$ sono detti incompatibili se la loro intersezione è vuota. In altre parole, due eventi sono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.

$$\text{Eventi incompatibili: }E\cap F=\varnothing$$

Esempio Esperimento: Lancio del dado Spazio Campionario: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

L’evento “esce un numero pari” è descritto dall’insieme $\{2,4,6\}$ e l’evento “esce un numero dispari” è descritto dall’insieme $\{1,3,5\}$. Questi due eventi sono incompatibili.

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Spazio di Probabilità

Uno spazio di probabilità è descritto dalla coppia $(S,P)$ dove:

• $S$ è lo spazio campionario dell’esperimento in considerazione.
• P è la funzione di probabilità

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Funzione di Probabilità

La funzione di probabilità è una funzione definita sulla famiglia di eventi che soddisfa i seguenti tre assiomi:

Assioma 1

$$P(E)\in [0,1]\forall E\subset S$$

Assioma 2

$$P(S)=1$$

oss: $P(S)$ è la probabilità che si ottenga un risultato qualsiasi che appartenga allo spazio campionario $S$

Assioma 3 (additiva numerabile)

Data una successione $E_1,E_2,\dots$ di eventi a 2 a 2 disgiunti (incompatibili) vale:

$$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_i)$$