Definizioni e Assiomi della Probabilità

Index

1. Spazio Campionario
2. Evento
3. Spazio di Probabilità
4. Funzione di Probabilità

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Spazio Campionario

Definizione

Lo spazio campionario rappresenta l’insieme di tutti possibili valori che possono essere assunti da una variabile aleatoria.

O in altre parole l’insieme di tutti possibili i possibili esiti di un esperimento.

$$\text{Simbolo Matematico: S}$$

Esempio

Se l’esperimento è il lancio di un dado, lo spazio campionari di questo esperimento è:

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

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Evento

Un evento è descritto matematicamente da un sotto insieme di uno spazio campionario, in particolare rappresenta tutto gli esiti che realizzano l’evento.

Esempio

Esperimento: lancio del dado Spazio Campionario: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

L’evento “esce un numero pari” è descritto dall’insieme $\{2,4,6\}\subset S$

Probabilità di un evento

La probabilità di un evento $E$ si rappresenta con $P(E)$ ed è un valore compreso tra 0 e 1, dove 0 indica che l’evento è impossibile e 1 che è certo.

Tipologie di Eventi

Evento Certo

Un evento è detto certo se contiene tutti gli elementi dello spazio campionario. In altre parole, un evento è certo se si verifica con certezza.

$$\text{Evento certo: }A=S$$

Esempio Esperimento: lancio del dado Spazio Campionario: S={1,2,3,4,5,6}

L’evento “esce un numero” è descritto dall’insieme {1,2,3,4,5,6}=S, quindi è un evento certo.

Evento Impossibile

Un evento è detto impossibile se è vuoto, ovvero non contiene alcun elemento dello spazio campionario. In altre parole, un evento è impossibile se non si verifica mai.

$$\text{Evento impossibile: }A=\varnothing$$

Esempio Esperimento: lancio del dado Spazio Campionario: S={1,2,3,4,5,6}

L’evento “esce un numero maggiore di 6” è descritto dall’insieme ∅, quindi è un evento impossibile.

Evento Complementare

Un evento è detto complementare di un altro evento se è l’insieme di tutti gli elementi dello spazio campionario che non sono in quell’evento.

$$E^c=S\setminus E$$

Esempio Esperimento: lancio del dado Spazio Campionario: S={1,2,3,4,5,6}

L’evento “esce un numero pari” è descritto dall’insieme E={2,4,6}. L’evento complementare di E è $E^c=\{1,3,5\}$.

Evento Incompatibile

Due eventi sono detti incompatibili se la loro intersezione è vuota. In altre parole, due eventi sono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.

$$\text{Eventi incompatibili: }A\cap B=\varnothing$$

Esempio Esperimento: lancio del dado Spazio Campionario: S={1,2,3,4,5,6}

L’evento “esce un numero pari” è descritto dall’insieme {2,4,6} e l’evento “esce un numero dispari” è descritto dall’insieme {1,3,5}. Questi due eventi sono incompatibili.

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Spazio di Probabilità

Uno spazio di probabilità è descritto dalla coppia $(S,P)$ dove:

• $S$ è lo spazio campionario dell’esperimento in considerazione.
• P è la funzione di probabilità

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Funzione di Probabilità

La funzione di probabilità è una funzione definita sulla famiglia di eventi che soddisfa i seguenti tre assiomi:

Assioma 1

$$P(E)\in [0,1]\forall E\subset S$$

Assioma 2

$$P(S)=1$$

oss: $P(S)$ è la probabilità che si ottenga un risultato qualsiasi che appartenga allo spazio campionario $S$

Assioma 3 (additiva numerabile)

Data una successione $E_1,E_2,\dots$ di eventi a 2 a 2 disgiunti (incompatibili) vale:

$$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_i)$$