Spazzi di Probabilità con Esiti Equiparabili

Index

1. Introduzione
2. Proposizione
3. Esempi

Related

• Calcolo delle Probabilità (class)
• Spazio di Probabilità

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Introduzione

Premesse

• Supponiamo che $S$ uno spazio campionari con un numero finito $n$ di esiti.
• Gli esiti di $S$ sono tutti equi-probabili e questo valore lo chiamiamo $z$ $P(E_1)=P(E_2)=\cdots =P(E_n)=z$

oss: $P(S)=1$

Conseguenze

La probabilità dello spazio campionario non è altro la somma tra tutte le probabilità degli eventi che lo compongono

$$P(S)=\sum _{i=1}^{n}P(E_i)=1$$

oss: $\forall E\in S,P(E)=k$

$$P(S)=\sum _{i=1}^{n}z=z\cdot n=1$$

Quindi visto che $z\cdot n=1$ sappiamo che:

$$\begin{array}{rl}& -z=\frac{1}{n}\\ & -P(E)=\frac{1}{n}(\forall E\in S)\end{array}$$

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Proposizione

Se $|S|=n$ e gli esiti sono equiparabili, allora:

$$\forall E,P(E)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{\#\text{ esiti favorevoli ad E}}{\#\text{ esiti possibili}}$$

Dimostrazione

Dato $E={\bigcup }_{S\in E}\{S\}$ gli eventi $\{S\}$, con $S\in E$ sono 2 a 2 incompatibili. Possiamo applicare l’additività finita e ottenere:

$$P(E)=\sum _{S\in E}P(\{S\})=\sum _{S\in E}\frac{1}{n}=\frac{|E|}{n}=\frac{|E|}{|S|}$$

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Esempi

Esempio 1

Lanciando due dati (normali), qual’è la probabilità che la somma dei numeri sia 6?

$S=\{1,2,3,4,5,6\}\times \{1,2,3,4,5,6\}$ $E=\{(a,b)\in S:a+b=6\}=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}$

$$P(E)=\frac{\mid E\mid }{\mid S\mid }=\frac{5}{6\cdot 6}=\frac{5}{36}$$

Esempio 2

Ho un mazzo da 40 carte. Estraggo 2 carte senza ri-inserirle nel mazzo. Qual’è la probabilità di estrarre 2 carte di bastoni.

$M=mazzo$ $S=\{(a,b):a,b\in M,a\ne b\}$

$$P(E)=\frac{\mid E\mid }{\mid S\mid }$$

Nel nostro caso:

• $\mid S\mid$ = $40\cdot 39$
• $\mid E\mid$ = $10\cdot 9$

Quindi:

$$P(E)=\frac{\mid E\mid }{\mid S\mid }=\frac{10\cdot 9}{40\cdot 39}=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{13}=\frac{3}{52}$$

Esempio 3

Ho un’urna con 6 palline bianche e 5 nere. Estraggo 3 palline a caso senza rimpiazzo, quant’è la probabilità che esca 1 bianca e 2 nere?

Non ci conviene registrare soltanto il colore delle palline, questo perché rompe la simmetria, ci conviene invece numerarle una per una in modo da distinguerle (cambio spazio campionario)

$Urna=U=\{B_1,B_2,B_3,B_4;B_5,B_6,N_1,N_2,N_3,N_4,N_5\}$

$S=\{A\subset U:|A|=3\}$

oss: Un esempio di esito $A$ è $\{B_2,B_4,N_3\}$

$$P(E)=\frac{|E|}{|S|}$$

$|E|=6\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$ $|S|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)$

Dove:

• 6 è il numero di modi per estrarre una pallina bianca
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$ è il modo di estrarre 2 palline nere (senza considerare l’ordine)

Quindi:

$$P(E)=\frac{6\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)}=\frac{4}{11}$$

Esempio 4 (compleanni)