Derivata funzione crescente o decrescente

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Leggi: Teorema di Lagrange

Example:

f(x) = \begin{cases}

5x^{2} & \text{if } x\geq 0 \ 6-3x^{2} & \text{if x < 0}

\end{cases}$$ 1) $f(x)$ crescente su $(0,+\infty )?$ 2) $f(x)$ decrescente su $(-\infty ,0)?$ 3) $f(x)$ crescente su $\mathbb{R}$?

1) $f(x)$ crescente su $(0,+\infty )?$

Metodo:

• Fare $f(x{)}^{\prime }$
• Se $f(x{)}^{\prime }>0$ $\forall x\in (0,+\infty )$ $⟹$ $f(x)$ crescente su $(0,+\infty )$
• Se $f(x{)}^{\prime }<0$ $\forall x\in (0,+\infty )$ $⟹$ $f(x)$ decrescente su $(0,+\infty )$

Calcoli:

• $f(x)=6-3x^2$ e $f(x{)}^{\prime }=6-6x$
• $6-6x$ e sempre positivo $\forall x\in (-\infty ,0)$

Quindi: $f(x)$ è crescente su $(-\infty ,0)$

2) $f(x)$ decrescente su $(-\infty ,0)?$

Metodo:

• Fare $f(x{)}^{\prime }$
• Se $f(x{)}^{\prime }>0$ $\forall x\in (0,+\infty )$ $⟹$ $f(x)$ crescente su $(-\infty ,0)$
• Se $f(x{)}^{\prime }<0$ $\forall x\in (0,+\infty )$ $⟹$ $f(x)$ decrescente su $(-\infty ,0)$

Calcoli:

• $f(x)=5x^2$ e $f(x{)}^{\prime }=10x$
• $10x$ e sempre positivo $\forall x\in (0,+\infty )$

Quindi: $f(x)$ è crescente su $(0,+\infty )$

3) $f(x)$ crescente su $\mathbb{R}$

Metodo:

• Osservare $f(x)$ si comporta:
  • $\forall x\in (-\infty ,0)$
  • $\forall x\in (0.+\infty )$
  • $x=0$ (unico punto che non abbiamo studiato)

Calcoli:

• $\forall x\in (-\infty ,0)$, $f(x)$ è sempre crescente (visto in esempio 1)
• $\forall x\in (0.+\infty )$, $f(x)$ è sempre crescente (visto in esempio 2)
• $x=0$:
  • ${\lim }_{x\to 0^{+}}5x^2=5\cdot 0=0$
  • ${\lim }_{x\to 0^{-}}6-3x^2=6-3\cdot 0=6$

Quindi: $f(x)$ non è crescente su tutto $\mathbb{R}$