Teorema di Lagrange

---

Index

1. Enunciato
2. Conseguenze

---

Enunciato

• Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$

  • Continua in $[a,b]$
  • Derivabile in $[a,b]$

• Allora $\exists c\in (a,b)$: $f^{{}^{\prime }}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

---

Conseguenze (crescente i un intervallo)

Definitions:

• Crescente:
  • $f(x)$ è crescente se $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\ge 0\forall x\ne y\in [a,b]$
• Decrescente:
  • $f(x)$ è decrescente se $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\le 0\forall x\ne y\in [a,b]$

Sbagliato inverire y con x e vice versa

Oss:

• Se $f$ è crescente allora è derivabile $⟺f^{{}^{\prime }}(x)\ge 0$
• Se $f$ è decrescente allora è derivabile $⟺f^{{}^{\prime }}(x)\le 0$

---

Conseguenze esiste punto con stesso coefficiente angolare di f’(c)

Esiste sicuramente un altro punto $x_0$ in cui la funzione ($f(x_0)$) a come coefficiente angolare $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Oss:

$a<x_0<b$

---