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Definizione
Una dimostrazione matematica è un processo deduttivo che permette di verificare la validità dell’enunciato di un teorema, e che prevede di mostrare che la validità delle ipotesi implica la validità della tesi
Oss:
In un impianto dimostrativo le ipotesi sono tutte le condizioni o proprietà che si suppongono vere, e vengono solitamente introdotte mediante la congiunzione condizionale se; al contrario, la tesi è la condizione o proprietà che discende dalle ipotesi, e viene solitamente introdotta dalla congiunzione coordinativa allora.
Metodi Dimostrativi
É possibile dimostrare un ipotesi attraverso diversi metodi dimostrativi:
Dimostrazione diretta:
- Ragionamento deduttivo in cui, supponendo vere le ipotesi, permette di giungere alla tesi anche grazie a postulati, assiomi o principi di partenza o eventualmente a proposizioni, teoremi, lemmi o corollari precedentemente dimostrati.
Dimostrazione per assurdo:
- Si suppongono le ipotesi vere e si suppone che la tesi non sia valida; si innesca un ragionamento che conduce a una contraddizione con le ipotesi.
Dimostrazione contro nominale:
- detta anche dimostrazione per contrapposizione, prevede di dimostrare che la negazione della tesi implica la negazione dell’ipotesi.
Dimostrazione per contro-esempio:
- metodo usato per dimostrare che un enunciato è falso, prevede di individuare un esempio che soddisfa le ipotesi e che contraddice la tesi.
Dimostrazione per induzione:
- si utilizza per dimostrare un teorema o una proprietà in cui l’asserto è espresso mediante numeri naturali o è comunque tale da presentare una dipendenza dai numeri naturali, tipicamente riconducibile alla forma:
- Passo iniziale: verificare che sia vera la proprietà P(0);
- Passo induttivo: supporre che sia vera la proprietà P(m) (detta ipotesi induttiva) e dimostrare che da ciò segue la validità della proprietà P(n + 1).
Ultimata la verifica dei punti 1) e 2) la dimostrazione per induzione è completa e si può asserire che la proprietà P(n) è vera per ogni n E N.