Dimostrazione per assurdo

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Indice

1. Definizione
2. Steps
3. Esempi

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Definizione

Per dimostrare “per assurdo” una certa affermazione P, si assume che sia vera la sua negazione ¬P e si cerca di giungere a un “assurdo”.

L’assurdo può essere di vari tipi: per esempio, assumendo che ¬P sia vera potremmo:

1. Riuscire a dimostrare che ¬P deve essere anche falsa
2. Trovare un’affermazione Q che risulta sia vera che falsa
3. Trovare un’affermazione Q che non può essere né vera né falsa
4. Trovare un’affermazione Q tale che Q è falsa ma anche ¬Q è falsa
5. …

Facendo ciò e tenendo conto del Principio del terzo Escluso avremmo dimostrato che la affermazione P è vera

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Steps

1. Tesi
2. Neghiamo la tesi
3. Cerchiamo di contraddire la la tesi negata (“cerchiamo l’assurdo”)
4. Quindi costatando che la negazione della nostra tesi è un assurdo, vuol dire che abbiamo dimostrato che la nostra tesi iniziale è vera

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Esempi:

Non esiste numero razionale minimo

Tesi: Tra i numeri razionali maggiori di zero non ne esiste uno minimo Negazione: Esiste un numero r che è più piccolo di tutti gli altri numeri razionali

Ragionamento per arrivare ad una contraddizione:

• se divido r per 2 ottengo un altro numero razionale $0<\frac{r}{2}<r$
• abbiamo ottenuto un assurdo quindi la nostra tesi è vera

Non esiste numero primo massimo

Tesi: Tra i numeri primi non ne esiste uno massimo Negazione: Esiste un numero k che è più grande di tutti gli altri numeri primi

Ragionamento per arrivare ad una contraddizione:

• prendiamo la serie di numeri primi che va da 1 a k
  • p = {1, 2, 3, 5, 7, …, k}
• se moltiplichiamo tutti i numeri della serie e aggiungiamo 1 otteniamo un altro numero primo
  • M = 1 * 2 * 3 * 5 * 7 * … * k +1
  • M è primo infatti nessuno dei primi appartenenti alla serie p può dividerlo proprio perché abbiamo aggiunto 1
• inoltre M è chiaramente più grande di k quindi abbiamo ottenuto un assurdo

√2 non è un numero razionale ???????

Tesi: La radice quadrata di 2 non è un numero razionale Negazione: La radice di due è un numero razionale

Ragionamento per arrivare ad una contraddizione: 0. Definizione numero razionale: $x,y\in \mathbb{Z},mcd(x,y)=1t.c.k=\frac{x}{y}$

1. oss: se √2 è un numero razionale allora può essere scritta come una frazione tra due numeri primi tra loro (ovvero numeri che non hanno nessun divisore in comune) $\sqrt{2}=\frac{a}{b}conaebprimitraloro$

2. Rimuovo la radice elevando per alla seconda $2=\frac{a^2}{b^2}$

3. Si può anche scrivere come: $a^2=2b^2$

4. oss: 2b^2 è un numero pari -⇒ a^2 è pari -⇒ a è pari

5. a essendo un numero pari lo possiamo scrivere come prodotto di un numero (k) e 2 $a=2k\to a^2=4k^2$

6. Sostituisco alla formula del passaggi 3 il nuovo valore di a^2 $4k^2=2b^2$

7. Semplifico: $b^2=2k^2$

8. oss: 2k^2 è un numero pari -⇒ b^2 è pari -⇒ b è pari

9. Quindi a e b sono tutti e due numeri pari

10. Se riprendiamo la formula iniziale avevamo detto che a e b dovevano essere numeri primi tra loro ma se a e b sono pari vuol dire che hanno 2 come divisore comune quindi abbiamo ottenuto una contraddizione