Teoria
Il teorema di Cantor (o teorema di diagonalizzazione di Cantor), è un risultato fondamentale della teoria degli insiemi che afferma che non esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri reali. In altre parole, non è possibile elencare tutti i numeri reali in un elenco infinito e contabile, come si può fare con i numeri naturali.
Si dice che l’insieme dei numeri reali è non è numerabile
Il teorema di Cantor dimostra che l’insieme dei numeri reali è “più grande” dell’insieme dei numeri naturali, in quanto contiene un numero infinito di elementi che non possono essere contati.
Questo risultato ha importanti implicazioni in diverse aree della matematica, come la teoria della computazione e la teoria dei giochi, e ha portato allo sviluppo di nuove tecniche matematiche per la risoluzione di problemi complessi.
Esempio concreto
Considera l’insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1, ovvero l’intervallo [0,1]. Questo insieme è infinito e non contabile, cioè non esiste un elenco infinito e contabile che possa includere tutti i numeri in esso contenuti. Infatti, se si provasse a elencare tutti i numeri dell’intervallo [0,1], si potrebbe iniziare scrivendo 0, seguito da 0.1, 0.01, 0.001 e così via, ma in questo modo si sarebbe già “perso” un numero come 1/3 = 0.333… che ha una rappresentazione decimale infinita e non periodica. Inoltre, anche se si continuasse ad elencare i numeri in questo modo, si verrebbe sempre a scoprire l’esistenza di numeri che non sono ancora stati elencati, come ad esempio la radice quadrata di 2.
Quindi, il teorema di Cantor ci dice che non è possibile trovare una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali (che possono essere elencati) e i numeri reali compresi nell’intervallo [0,1] (che non possono essere elencati). Questo dimostra che l’insieme dei numeri reali è “più grande” dell’insieme dei numeri naturali, e che esistono numeri reali che non possono essere rappresentati con una notazione decimale finita o periodica.
Dimostrazione per assurdo
