Funzioni di Variabili Aleatorie

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Definizione

Dati $(S,P)$ e $X:S\to \mathbb{R}$

Sia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, Denoto con $f(X)$ la *variabile aleatoria $f\circ X$ ovvero:

$$S\stackrel{X}{\to }\mathbb{R}\stackrel{f}{\to }\mathbb{R}$$

Osservazioni

• $f(X):S\to \mathbb{R}$ è una variabile aleatoria
• $X:S\to \mathbb{R}$ assume i valori $\{X_i:i\in I\}$
• $f(X)=f\circ X:S\to \mathbb{R}$ assume i valori $\{f(X_i:i\in I)\}$

Esempio

Lanciamo 10 volte una moneta e definiamo la v.a. $X$ come $X:=\#\text{Teste Uscite}$

• Vinco 2 euro per ogni testa
• Perdo 1 euro per ogni croce

Definiamo una v.a. $Y$ come $Y:=\text{Guadagno/perdita dei 10 lanci}$

Come si può notare $Y$ dipende strettamente da il valore di $X$ quindi è possibile definire $Y$ come $f(x)$, in particolare:

$$Y=f(x)=2X-1(10-X)=3X-10$$

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Calcolo del Valore Atteso

Per effettuare il calcolo del valore atteso di $f(X)$ ci sono due metodi, (il secondo è più semplice):

1° Metodo

Chiamiamo i possibili valori di $f(X)$ come $\{y_j:i\in J\}$ e calcoliamo:

$$P(f(X)=y_i)\forall j\in J$$

Per definizione del valore atteso otteniamo che:

$$E[f(X)]=\sum _j{y}_j\cdot P(f(X)=y_j)$$

Consiste nel prendere tutti i valori possibili di $f(X)$, ovvero $y_j$, e moltiplicarli per la probabilità che la funzione assuma quel valore, ovvero $P(f(X)=y_j)$. Infine, si sommano tutti questi prodotti per ottenere il valore atteso di $f(X)$.

2° Metodo (Teorema)

Sia $X$ v.a. discreta che assume valori $\{X_i{\}}_{i\in I}$ e sia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, allora:

$$E[f(X)]=\sum _{i\in I}f(X_i)\cdot P(X=X_i)$$

Consiste nel prendere tutti i valori che la variabile aleatoria $X$ può assumere ($X_i$), applicare la funzione $f$ a questi valori per ottenere $f(X_i)$, e poi moltiplicare ogni valore di $f(X_i)$ per la probabilità che la variabile aleatoria $X$ assuma quel valore ($P(X=X_i)$). Infine, si sommano tutti questi prodotti per ottenere il valore atteso di $f(X)$.

Esempio (molto utile)

Data la v.a. $X$ che assume i valori $-1,0,3$ con rispettive probabilità 0.2, 0.5, 0.3.

Calcolare $E((X-1{)}^2)$

Metodo 1

$$Y=(X-1{)}^2\text{assume i valori}\{\begin{array}{ll}4& \text{se }X=-1\\ 4& \text{se }X=-3\\ 1& \text{se }X=0\end{array}$$

• $P(Y=4)=P(X=-1)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5$
• $P(Y=1)=P(X=0)=0.5$

$$E[Y]=4\cdot 0.5+1\cdot 0.5=2.5$$

Metodo 2:

$$\begin{array}{rl}E[Y]& =f(-1)\cdot P(X=-1)+f(0)\cdot P(X=0)+f(3)\cdot P(X=3)\\ & |\\ & =(-1-1{)}^2\cdot 0.2+(0-1{)}^2\cdot 0.5+(3-1)\cdot 0.3\\ & |\\ & =0.8+0.5+1.2=2.5\end{array}$$