Introduzione - Variabili Aleatorie

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Variabili Aleatorie

Calcolo delle Probabilità (class)

Variabili Aleatorie (Reali)

Definizione

Dato uno spazio di probabilità $(S, P)$ , una variabile aleatoria è una funzione $X$ tale che $X : S \to R$ .

Ovvero una funzione che mappa elementi dello spazio campionario $S$ a numeri reali.

Esempio 1

Lancio una moneta 2 volte e definiamo $X$ come $X := # numero di volte in cui esce testa$

Lo spazio campionario è $S = {(T, T), (T, C), (C, T), (C, C)}$ - (esiti equiprobabili)

$X ((T, T)) = 2$

$X ((T, C)) = 1$

$X ((C, T)) = 1$

$X ((C, C)) = 0$

Esempio 2

Lancio due volte un dato, chiamiamo $X$ la somma dei risultati $X := # somma numeri usciti$

Lo spazio campionario è $S = {(a, b) : a, b \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}}$ - (esiti equiprobabili)

$X ((a, b)) = a + b es : X ((1, 5)) = 6$

Variabili Aleatorie Discrete

Una variabile aleatoria $X$ è detta discreta se i valori che può assumere ${x_{i}}_{i \in I}$ formano un insieme finito o infinito numerabile.

Esempio

Le variabili aleatorie degli esempi precedenti 1 e 2 sono discrete, infatti:

nel primo esempio la variabile aleatoria $X$ può assumere soltanto valori appetenti ad ${0, 1, 2}$

nel secondo esempio esempio la variabile aleatoria $X$ può assumere soltanto valori appetenti ad ${2, 3, \dots, 12}$

E ovviamente sono tutti e due insiemi finiti.

Densità di Probabilità Discreta

Definizione

La densità di probabilità discreta è una funzione che descrive la probabilità di ciascun valore possibile di una variabile aleatoria discreta.

Matematicamente: Data una variabile aleatoria discreta $X$ , che assume valori ${x_{i}}_{i \in I}$ definiamo la densità di probabilità diserta di $X$ come la funzione:
$P x : {x_{i}}_{i \in I} \to [0, 1], P_{X} (x_{i}) := P (X = x_{i})$
Ovvero la funzione che preso un valore che può assumere la variabile aleatoria ne ritorna la sua probbailità (ovvero un valore compreso tra 0 e 1)

Notazione: Con $P_{X} (x_{i})$ indichiamo la probabilità che la variabile aleatoria $X$ assuma il valore $x_{i}$ .

Esempio

Nel caso del primo esempio visto in precedenza dove abbiamo che:

La variabile aleatoria $X$ e definita come $X := # numero di volte in cui esce testa$

L’insieme dei possibili risultati che può assumere $X$ è ${0, 1, 2}$

La funzione di probabilità discreta è:
$P_{X} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 1/4 1/2 1/4 0 se a = 0 se a = 1 se a = 2 altrimenti$
Dove:
$P_{X} = {0, 1, 2} \to [0, 1] P_{X} (a) = P (X = a) P_{X} (0) = P (X = 0) = 1/4, P_{X} (1) = P (X = 1) = 2/4, P_{X} (2) = P (X = 2) = 1/4$

Osservazione $P (X = 1)$ intendiamo che $P ({s \in S : X (s) = 1}) = P ({(C, T), (T, C)}) = \frac{2}{4}$

Quando scriviamo

Valore Atteso

Definizione

Il valore atteso di una variabile aleatoria discreta rappresenta il valore medio che ci si aspetta di ottenere se si ripetesse un esperimento aleatorio un numero infinito di volte

Matematicamente: Data una variabile aleatoria $X$ che assume valori ${x_{i}}_{i \in I}$ definiamo il valore atteso $X$ come:
$E [X] = i \in I \sum x_{i} P (X = x_{i}) = i \in I \sum x_{i} P_{X} (x_{i})$

Dove $E [X]$ indica expected value of X.

Esempio 1 $X = # esce testa$

I valori possibili di $X$ sono 0, 1 e 2; la probabilità di ciascun valore è la seguente:

$P (X = 0) = 1/4$ (esce croce due volte)

$P (X = 1) = 1/2$ (esce testa una volta e croce una volta)

$P (X = 2) = 1/4$ (esce testa due volte)

Il valore atteso di $X$ è:

$E [X] = 0 \cdot P (X = 0) + 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2)$ $E [X] = 0 \cdot (1/4) + 1 \cdot (1/2) + 2 \cdot (1/4)$ $E [X] = 0 + 1/2 + 1/2$ $E [X] = 1$

Quindi, il valore atteso di $X$ è 1. Ciò significa che se si lancia la moneta due volte molte volte, ci si aspetta di ottenere in media 1 testa.

Esempio 2 $X := # palline nere estreatte$ , calcolare calcolare $E [X]$ .

Abbiamo $X = {0, 1, 2}$

$P (X = 0) = 5 \cdot 42 \cdot 1 = 202$

$P (X = 1) = 5 \cdot 43 \cdot 2 + 5 \cdot 42 \cdot 3 = 2012$

$P (X = 2) = 5 \cdot 43 \cdot 2 = 206$

Allora: $E [X] = 0 \cdot 202 + 1 \cdot 2012 + 2 \cdot 206 = 56$

Esempio 3

$P (X = 0) = 0, 9$ (non si vince nulla)

$P (X = 10) = 0, 09$ (si vince 10 euro)

$P (X = 100) = 0, 01$ (si vince 100 euro)

Il valore atteso di $X$ è: $E [X] = 0 \cdot 0, 9 + 10 \cdot 0, 09 + 100 \cdot 0, 01$ $E [X] = 0 + 0, 9 + 1$ $E [X] = 1, 9$

Quindi, il valore atteso di $X$ è 1,9 euro. Ciò significa che se si giocasse alla lotteria molte volte, ci si aspetta di vincere in media 1,9 euro.

Proposizione

Sia $X$ una variabile aleatoria discreta e $a, b \in R$ , allora:
$E [a X + b] = a E [X] + b$
il valore atteso è lineare

Dimostrazione

Sia ${x_{i}}_{i \in I}$ l’insieme dei valori assunti dalla v.a. $X$

Inoltre abbiamo che $a X + b = f (X)$ dove $f (u) = a u + b$

Scriviamola come funzione di $X$ :
$E [a X + b] = E [f (x)] = i \sum f (x_{i}) P (X = x_{i}) = a \cdot E [X] i \sum x_{i} P (X = x_{i}) + b \cdot 1 i \sum P (X = x_{i}) = a E [X] + b$

Esempio $E [X] = 1000$ come calcoliamo $E [3 X - 500]$ ?

Applico la formula:
$E [3 X - 500] = 3 E [X] - 500 = 3000 - 500 = 2500$

oss: $E [a X + bY + y] = a E [X] + b E [Y] + c$

Funzione di Distribuzione (o Ripartizione)

Definizione

La funzione di distribuzione (o ripartizione) è una funzione matematica che descrive la probabilità che una variabile aleatoria assuma valori inferiori o uguali a un certo valore.

Matematicamente: Data una variabile aleatoria $X$ , la sua funzione di distribuzione è definiti come:
$F_{X} : R \to [0, 1] con F_{X} (a) = P (X \leq a) \forall a \in R$

Esempio 1

Lanciamo un dado equilibrato a sei facce e definiamo una variabile aleatoria $X = # facce del dado$

I valori possibili di $X$ sono 1, 2, 3, 4, 5 e 6; la probabilità di ciascun valore è la seguente:

$P (X = 1) = 1/6$ (esce la faccia con il numero 1)

$P (X = 2) = 1/6$ (esce la faccia con il numero 2)

$P (X = 3) = 1/6$ (esce la faccia con il numero 3)

$P (X = 4) = 1/6$ (esce la faccia con il numero 4)

$P (X = 5) = 1/6$ (esce la faccia con il numero 5)

$P (X = 6) = 1/6$ (esce la faccia con il numero 6)

La funzione di distribuzione di $X$ è:
$F_{X} (x) = P (X \leq x)$
Calcoliamo la funzione di distribuzione per alcuni valori di x: $F_{X} (1) = P (X \leq 1) = 1/6$ $F_{X} (2) = P (X \leq 2) = 2/6$ $F_{X} (3) = P (X \leq 3) = 3/6$ $F_{X} (4) = P (X \leq 4) = 4/6$ $F_{X} (5) = P (X \leq 5) = 5/6$ $F_{X} (6) = P (X \leq 6) = 1$

Quindi, la funzione di distribuzione di $X$ è:
$F_{X} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1 se a < 1 se 1 \leq a < 2 se 2 \leq a < 3 se 3 \leq a < 4 se 4 \leq a < 5 se 5 \leq a < 6 se a \geq 6$

Esempio 2

Estraggo 3 carte da un mazzo da 40 e definiamo una variabile aleatoria $X$ come $X := # Carte di bastoni uscite$

Determinare $P_{X} , F_{X} , E [X]$

$P (X = 0) = \frac{( 3 30 )}{( 3 40 )} = \frac{812}{1976}$

$P (X = 1) = \frac{( 2 30 ) ( 1 10 )}{( 3 40 )} = \frac{870}{1976}$

$P (X = 2) = \frac{( 1 30 ) ( 2 10 )}{( 3 40 )} = \frac{270}{1976}$

$P (X = 3) = \frac{( 3 10 )}{( 3 40 )} = \frac{24}{1976}$

Quindi abbiamo:
$E [X] = 0 \cdot \frac{812}{1976} + 1 \cdot \frac{870}{1976} + 2 \cdot \frac{270}{1976} + 3 \cdot \frac{24}{1976} = \frac{1482}{1976}$
E per $F (a)$ :
$F_{X} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 se a < 0 \frac{812}{1976} se 0 \leq a < 1 \frac{812}{1976} + \frac{870}{1976} se 1 \leq a < 2 \frac{812}{1976} + \frac{870}{1976} + \frac{270}{1976} se 2 \leq a < 3 1 se a \geq 3$

Esempio 3 (calcolo inverso)

Supponiamo avere una variabile aleatoria $X$ con funzione di distribuzione:
$F_{X} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{1}{2} \frac{3}{5} \frac{4}{5} \frac{9}{10} 1 se a < 0 se 0 \leq a < 1 se 1 \leq a < 2 se 2 \leq a < 3 se 3 \leq a < 3.5 se a \geq 3.5$
Calcolare la densità di probabilità discreta $P_{X} (a)$
$P_{X} (a) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \frac{9}{10} - \frac{4}{5} 1 - \frac{9}{10} se a = 0 se a = 1 se a = 2 se a = 3 se a = 3.5$
Abbiamo che

$P_{X} (1) = F_{X} (1) - F (0)$

$P_{X} (2) = F_{X} (2) - F (1)$

ecc

oss: $(\frac{1}{2}) + (\frac{3}{5} - \frac{1}{2}) + (\frac{4}{5} - \frac{3}{5}) + (\frac{9}{10} - \frac{4}{5}) + (1 - \frac{9}{10}) = 1$

Varianza

Definizione

La varianza di una variabile aleatoria è una misura della dispersione dei valori della variabile rispetto al suo valore medio. In altre parole, rappresenta la quantità di variabilità o incertezza associata alla variabile

Matematicamente: Sia $X$ una variabile aleatoria discreta, la varianza di $X$ è definita come:
$Va r (X) := E [(X - valore atteso EX)^{2}]$

Esempio 1 $X$ una variabile aleatoria che assume i valori ${- 1, 1}$ con probbailità:

$P_{X} (1) = \frac{1}{2}$

$P_{X} (- 1) = \frac{1}{2}$

Quindi abbiamo che:
$E [X] = EX = 1 \cdot \frac{1}{2} + - 1 \cdot \frac{1}{2} = 0$ $Var(X) = E [(X - EX)^{2}] = E [(X - 0)^{2}] = E [X^{2}] = 1$

Esempio 2 $X$ una variabile aleatoria che assume i valore ${- 3, 0, 1, 2}$ con:

$P_{X} (- 3) = \frac{2}{10}$

$P_{X} (0) = \frac{1}{10}$

$P_{X} (1) = \frac{4}{10}$

$P_{X} (2) = \frac{3}{10}$

Calcoliamo $EX$ e $Var (X)$

$EX = - 3 \cdot \frac{2}{10} + 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{4}{10}$

$Var(X) = E [(X - \frac{4}{10})^{2}] =$
Ma come calcoliamo ( $(X - \frac{4}{10})^{2}$ ? Dobbiamo vedere i singoli casi:

$X = 3 \to (x - 0.4)^{2} = (- 3 - 0.4)^{2} = 11.56$

$X = 0 \to (x - 0.4)^{2} = (0 - 0.4)^{2} = 0.16$

$X = 1 \to (x - 0.4)^{2} = (1 - 0.4)^{2} = 0.36$

$X = 2 \to (x - 0.4)^{2} = (2 - 0.4)^{2} = 2.56$

Quindi otteniamo:
$(X - 0.4)^{2} = ⎩ ⎨ ⎧ 11.56 0.16 0.36 2.46 con probabilit \overset{a}{ˋ} \frac{2}{10} con probabilit \overset{a}{ˋ} \frac{1}{10} con probabilit \overset{a}{ˋ} \frac{4}{10} con probabilit \overset{a}{ˋ} \frac{3}{10}$
Allora:
$Var (X) = E [(X - 0.4)^{2}] = 11.56 \cdot 0.2 + 0.16 \cdot 0.1 + 0.36 \cdot 0.4 + 2.56 \cdot 0.3 = 3.24$

Calcolo Alternativo

È possibile calcolare la Varianza anche come:
$Var (X) = E [X^{2}] - (EX)^{2}$

Esempio $X$ assume valori ${- 1, 0, 2, 3}$ e abbiamo che:

$P (- 1) = 0.1$

$P (0) = 0.2$

$P (2) = 0.2$

$P (3) = 0.5$

Calcoliamo: $Var(X) = E [X^{2}] - (EX)^{2}$
$- EX = - 1 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.5 = 1.8 - E [X^{2}] = (- 1)^{2} P (- 1) + (0)^{2} P (0) + (2)^{2} P (2) + (3)^{3} P (3) = 5.4$
Quindi:
$Var (X) = 5.4 - (1.8)^{2} = 2.16$

Utilizzando l’altro metodo:
$Var (X) = E ((X - EX)^{2}) = (- 1 - 1.8)^{2} P (- 1) + (0 - 1.8)^{2} P (0) + (2 - 1.8)^{2} P (2) + (3 - 1.8)^{2} P (3)$

Prop (non lineare)

Data $X$ v.a. discreta e dati $a, b \in R$ vale:
$Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$
Notiamo che le variabili addizionali vengono eliminate e quelle moltiplicative amplificate, la varianza è quadratica.

Esempio DA FAREEE metti esempio fatto con prof sostitutivo

Approfondimento: Perché le costanti additive non importano nella varianza?

Deviazione Quadrata

Definizione

La deviazione quadrata di una variabile aleatoria è una misura della dispersione dei valori della variabile rispetto al suo valore medio.

Non è altro che una misura più intuitiva della dispersione rispetto alla Varianza, poiché è espressa nella stessa unità di misura della variabile aleatoria.

Matematicamente: Sia $X$ una variabile aleatoria discreta, la deviazione quadrata di $X$ è definita come:
$σ (X) := Var (X) = E [(X - EX)^{2}]$

Esempio 1 $X$ una variabile aleatoria che assume i valori ${- 1, 1}$ con probabilità:

$P_{X} (1) = \frac{1}{2}$

$P_{X} (- 1) = \frac{1}{2}$

Quindi abbiamo che:
$E [X] = EX = 1 \cdot \frac{1}{2} + - 1 \cdot \frac{1}{2} = 0$ $Var(X) = E [(X - EX)^{2}] = E [(X - 0)^{2}] = E [X^{2}] = 1$ $σ (X) = Va r (X) = 1 = 1$

Esempio 2 $X$ una variabile aleatoria che assume i valore ${- 3, 0, 1, 2}$ con:

$P_{X} (- 3) = \frac{2}{10}$

$P_{X} (0) = \frac{1}{10}$

$P_{X} (1) = \frac{4}{10}$

$P_{X} (2) = \frac{3}{10}$

Calcoliamo $EX$ e $Var (X)$

$EX = - 3 \cdot \frac{2}{10} + 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{4}{10}$

$Var(X) = E [(X - \frac{4}{10})^{2}] = 3.24$ $σ (X) = Va r (X) = 3.24 \approx 1.80$

Prop (non lineare)

Sia $X$ variabile aleatoria, $a$ e $b$ numeri in $R$ , allora:
$σ (a X + b) = ∣ a ∣ \cdot σ (X)$

Esempio DA FAREEE metti esempi visto con il prof sostitutivo

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Table of Contents

Introduzione - Variabili Aleatorie

Variabili Aleatorie (Reali)

Variabili Aleatorie Discrete

Densità di Probabilità Discreta

Valore Atteso

Funzione di Distribuzione (o Ripartizione)

Varianza

Deviazione Quadrata

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