Variabile Aleatorie Congiunte

Related

• Variabili Aleatorie
• Calcolo delle Probabilità (class)

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Definizione

Una variabile aleatoria congiunta è una variabile aleatoria che rappresenta il comportamento di due o più variabili aleatorie correlate.

Notazione

Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie definite su uno stesso spazio campionario. Indichiamo con $(X,Y)$ la variabile aleatoria congiunta ovvero una funzione che associa ad ogni punto dello spazio campionario un valore della coppia $X,Y$.

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Densità di Probabilità Congiunta

Definizione

Date due v.a $X$ e $Y$ definite sullo stesso spazio campionario ($X:S\to \mathbb{R}$ e $Y:S\to \mathbb{R}$) ed entrambe discrete dove:

• $X$ ha valori in $\{x_i{\}}_{i\in I}$
• $Y$ ha valori in $\{y_j{\}}_{j\in J}$

La densità di probabilità discreta disgiunta $P_{X,Y}$ è la funzione:

$$P_{X\times Y}:\{x_i{\}}_{i\in I}\times \{y_j{\}}_{j\in J}\to [0,1]$$

Data da $P_{X,Y}(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)$

Proprietà

• $P_{X,Y}(x_i,y_i)\in [0,1]$
• ${\sum }_{i\in I}{\sum }_{j\in J}{P}_{X,Y}(x_i,y_j)=1$

Esempio 1

Supponiamo di lanciare un dado una sola volta, chiamiamo 

• $X:=\#\text{Lanci in cui ho faccia pari}$
• $Y:=\#\text{Lanci in cui esce multiplo di 3}$.

Possiamo osservare che:

• $X$ assume i valori $\{0,1\}$

• $Y$ assume i valori $\{0,1\}$

Dobbiamo riempire la tabella per $P_{X,Y}$

X/Y	0	1
0	$P_{X,Y}(0,0)$	$P_{X,Y}(0,1)$
1	$P_{X,Y}(1,0)$	$P_{X,Y}(1,1)$

$P_{X,Y}(0,0)$: Probabilità che il dado mostri una faccia dispari e non un multiplo di 3. Le facce dispari sono 1, 3, 5. Le facce non multipli di 3 tra queste sono 1 e 5. Quindi:

• Possibilità: $(1,5)$ → 2 casi
• Probabilità: $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$P_{X,Y}(0,1)$: Probabilità che il dado mostri una faccia dispari e un multiplo di 3. L’unico multiplo di 3 tra le facce dispari è 3. Quindi:

• Possibilità: (3) → 1 caso
• Probabilità: $\frac{1}{6}$

$P_{X,Y}(1,0)$: Probabilità che il dado mostri una faccia pari e non un multiplo di 3. Le facce pari sono 2, 4, 6. Le facce pari che non sono multipli di 3 sono 2 e 4. Quindi:

• Possibilità: (2, 4) → 2 casi
• Probabilità: $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$P_{X,Y}(1,1)$: Probabilità che il dado mostri una faccia pari e un multiplo di 3. L’unico multiplo di 3 tra le facce pari è 6. Quindi:

• Possibilità: $(6)$ → 1 caso
• Probabilità: $\frac{1}{6}$

Ora possiamo riempire la tabella:

X/Y	0	1
0	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$
1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

Esempio 2

Supponiamo di lanciare un dado 2 volte, chiamiamo 

• $X:=\#\text{Lanci in cui ho faccia pari}$
• $Y:=\#\text{Lanci in cui esce multiplo di 3}$.

Possiamo osservare che:

• $X$ assume i valori $\{0,1,2\}$
• $Y$ assume i valori $\{0,1,2\}$

Come calcoliamo $P_{X,Y}$?

Dobbiamo riempire questa tabella che copre tutti i casi possibili:

X/Y	0	1	2
0	$P_{X,Y}(0,0)$	$P_{X,Y}(0,1)$	$P_{X,Y}(0,2)$
1	$P_{X,Y}(1,0)$	$P_{X,Y}(1,1)$	$P_{X,Y}(1,2)$
2	$P_{X,Y}(2,0)$	$P_{X,Y}(2,1)$	$P_{X,Y}(2,2)$

• $P_{X,Y}(0,0)=P((1,5),(5,1),(1,1),(5,5))=\frac{4}{36}$
• $P_{X,Y}(0,1)=P((1,3),(5,3),(1,6),(5,6),(3,1),(6,1),(3,5),(6,5))=\frac{8}{36}$
• $P_{X,Y}(0,2)=P()=\frac{0}{36}$
• $P_{X,Y}(1,0)=P((2,1),(2,5),(4,1),(4,5),(6,1),(6,5),(1,2),(5,2),(1,4),(5,4))=\frac{10}{36}$
• $P_{X,Y}(1,1)=P((2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(6,3),(6,6),(3,2),(6,2),(3,4),(6,4))=\frac{10}{36}$
• $P_{X,Y}(1,2)=P()=\frac{0}{36}$
• $P_{X,Y}(2,0)=P((2,2),(2,4),(4,2),(4,4),(6,2),(6,4),(2,6),(4,6))=\frac{8}{36}$
• $P_{X,Y}(2,1)=P((2,6),(6,2),(4,6),(6,4))=\frac{4}{36}$
• $P_{X,Y}(2,2)=P()=\frac{0}{36}$

X/Y	0	1	2
0	$\frac{4}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{0}{36}$
1	$\frac{10}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{0}{36}$
2	$\frac{8}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{0}{36}$

Metodo alternativo: fare la tabella con i possibili valori dello spazio campionario, in questo caso un 6x6 e poi inserire in ogni casella la coppia di valori $(x,y)$, poi contiamo quante caselle per ogni coppia di valori.

	1	2	3	4	5	6
1	(0,0)	(1,0)	(0,1)	(1,0)	(0,0)	(1,1)
2	(1,0)	(2,0)	(1,1)	(2,0)	(1,0)	(2,1)
3	(0,1)	(1,1)	(0,2)	(1,1)	(0,1)	(1,2)
4	(1,0)	(2,0)	(1,1)	(2,0)	(1,0)	(2,1)
5	(0,0)	(1,0)	(0,1)	(1,0)	(0,0)	(1,1)
6	(1,1)	(2,1)	(1,2)	(2,1)	(1,1)	(2,2)
Ora, contiamo quante caselle per ogni coppia di valori:

• $(0,0)$: 4 caselle
• (0,1): 4 caselle
• (0,2): 0 caselle
• (1,0): 6 caselle
• (1,1): 6 caselle
• (1,2): 0 caselle
• (2,0): 4 caselle
• (2,1): 4 caselle
• (2,2): 0 caselle

Quindi, la tabella della densità di probabilità discreta disgiunta $P_{X,Y}$ è:

X/Y	0	1	2
0	$\frac{4}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{0}{36}$
1	$\frac{6}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{0}{36}$
2	$\frac{4}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{0}{36}$

Attenzione: Ci sono sicuramente degli errori perché la tabella non sono uguali ma in generale il ragionamento è giusto

Esempio 3

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Densità di probabilità Marginale

In una v.a. discreta congiunta, le densità che la compongono vengono chiamata marginali e conoscendo la congiunta possiamo calcolare le marginali

oss: non vale il contrario, non è possibile ricavare il valore della densità di probabilità congiunta conoscendo il valore delle marginali

Calcolo

Marginali della variabile aleatoria congiunta $(X,Y)$

• $P_X(x_i)={\sum }_{j\in J}{P}_{X,Y}(x_i,y_j)$
• $P_Y(y_j)={\sum }_{i\in I}{P}_{X,Y}(x_i,y_j)$

Esempio

Ho due v.a. $X$ e $Y$ su $S$, dove:  

• $X$ assume valori $-2,0,5$
• $Y$ assume valori $4,9$

Inoltre $P_{X,Y}$​ è data da:

X/Y	4	9
$-2$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$
$0$	$\frac{0}{10}$	$\frac{1}{10}$
$5$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$

Determinare pX​ e pY​.

Ricordiamo la formula:

$$P_X(x_i)=\sum _j{P}_{X,Y}(x_i,y_j)$$

Quindi calcolando $P_X$

$$P_X(-2)=P_{X,Y}(-2,4)+P_{X,Y}(-2,9)=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$$ $$P_X(0)=\frac{0}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$$ $$P_X(-2,9)=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$$ $$P_X(5)=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}$$

Mentre per la $P_Y$:

$$P_Y(4)=P_{XY}(-2,4)+P_{XY}(0,4)+P_{XY}(5,4)=\frac{1}{10}+\frac{0}{10}+\frac{3}{10}=\frac{4}{10}$$ $$P_Y(9)=\frac{2}{10}+\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}$$

Esempio palline con rimpiazzo

Abbiamo un’urna con 6 palline numerate da 1 a 6, estraiamo 2 palline con rimpiazzo e definiamo:

$$\begin{array}{rl}& X:=\text{Numero della prima pallina}\\ & Y:=\text{Numero della seconda pallina}\end{array}$$

Quindi $X$ assume valori in $\{1,2,3,4,5,6\}$ e con $P_X(k)=\frac{1}{6}$ per ogni $k$ da 1 a 6 (stessa cosa per $Y$)

La congiunta $(X,Y)$ assume valori $(a,b)$ con $a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}$

$$P_{X,Y}(X=a,Y=b)=\frac{1}{36}\forall (a,b)\in \{1,2,3,4,5,6{\}}^2$$

Esempio palline senza rimpiazzo

Abbiamo un’urna con 6 palline numerate da 1 a 6, estraiamo 2 palline con rimpiazzo e definiamo:

$$\begin{array}{rl}& X:=\text{Numero della prima pallina}\\ & Y:=\text{Numero della seconda pallina}\end{array}$$

Quindi $X$ assume valori in $\{1,2,3,4,5,6\}$ e con $P_X(k)=\frac{1}{6}$ per ogni $k$ da 1 a 6 (stessa cosa per $Y$)

La congiunta $(X,Y)$ assume valori $(a,b)$ con $a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}$

P_{X,Y}(X=a,Y=b) = \begin{cases}

\frac{1}{30} & \text{se } a,b \in { 1,\dots,6 } \text{ e } a \not = b\ \

0 & \text{se }a,b \in { 1,\dots,6 } \text{ e } a = b \end{cases}

oss: Notiamo quindi che negli ultimi due esperimenti le due marginali sono uguali ma la congiunta dipende dall’esperimento e quindi cambia.

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Valore Atteso

Calcolo

Siano $X$ e $Y$ v.a. discrete e sia $f:{\mathbb{R}}^2\to R$, allora:

$$E[f(X,Y)]=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}f(x_i,y_j)P_{X,Y}(x_i,y_j)$$

Dove

• $\{X_i{\}}_{i\in I}$ è l’insieme dei possibili valori di $X$

• $\{Y_j{\}}_{j\in J}$ è l’insieme dei possibili valori di $Y$

Esempio

Data $f:{\mathbb{R}}^2\to R$ definita come $f(a,b)=a^{2}b$ e le v.a $X,Y$ tali che:

Calcolare $E[X^{2}Y]$:

Prop. Somma

$$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$$ $$E[X_1+\cdots +X_n]=E[X_1]+\cdots +E[X_n]$$ $$E[a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n]=a_{1}E[X_1]+\cdots +a_{n}E[X_n]$$

più in generale dai $a_1,a_2,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$

Esempio $E[X]$ dove $X=\#\text{volte che esce 5}$

Metodo 1 (lento):*

Notiamo che possiamo $X$ può essere descritta utilizzando la binomiale quindi $X=\text{Bin(1000, 1/6)}$:

Utilizziamo la definizione di valore atteso otteniamo che:

$$E[X]=\sum _{k=0}^{1000}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{k}\right){\left(\frac{1}{6}\right)}^k{\left(\frac{5}{6}\right)}^{1000-k}$$

Ma questo è un calcolo molto lungo

Metodo 2: L’idea è di semplificare i calcoli scomponendo la v.a. $X$ in 1000 variabile più semplici.

Possiamo scomporla in $X_1,\dots ,X_{1000}$ dove $X_i$ vale 1 se la i-esima prova vale 5, 0 altrimenti, in questo modo otteniamo:

$$E[X]=\sum _{i=1}^{1000}E[X_i]$$

oss: la v.a. $X_i$ assume il valore $1$ con probabilità $\frac{1}{6}$ e il valore $0$ con probabilità $\frac{5}{6}$ quindi il valore atteso è per $x_i$ è $E[x_i]=1\cdot \frac{1}{6}+0\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$

Quindi la sommatoria precedente sarà

$$E[X]=\sum _{k=0}^{1000}\frac{1}{6}=1000\cdot \frac{1}{6}$$

Notiamo che il secondo metodo non è altro i procedimento con cui si ottiene la formula del valore atteso di una variabile binomiale $E[X]=np$

Prop. Prodotto

Questo vale soltanto se sono indipendenti:

$$E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$$