Variabili Aleatorie Indipendenti

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Introduzione

Delle variabili aleatorie si dicono indipendenti quando per ogni v.a. il valore di una non influenza il valore delle altre.

Definizione

Date $X_1,X_2,\dots ,X_n$ v.a. sullo stesso spazio campionario, queste sono indipendenti se:

$$P(X_1\in A_1,\dots ,X_n\in A_n)=P(X_1)=P(X_1\in A_1),\dots ,P(X_n\in A_n)$$

$\forall A_1,A_2,..,A_n\subset \mathbb{R}$

Ovvero: Se ho un esperimento formato da sotto-esperimenti operativamente indipendenti (non si influenzano) allora variabili aleatorie che si riferiscono a sotto-esperimenti diversi sono tra loro indipendenti.

Esempio

Lanciamo un dado 20 volte

$$\begin{array}{rl}X& :=\text{Numero uscito al 3° lancio}\\ Y& :=\text{Numero uscito al 9° lancio}\\ Z& :=\text{Numero uscito al 17° lancio}\\ & \end{array}$$

Queste sono variabili indipendenti tra lore infatti il valore risultante da un lancio del dato non influenza gli altri lanci.

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Calcolo con v.a. congiunta

Formula

Siano $X:S\to \mathbb{R}$ e $Y:S\to \mathbb{R}$ v.a. discrete.

• $X$ assume i valori $\{x_i{\}}_{i\in I}$
• $Y$ assume i valori $\{y_j{\}}_{j\in J}$

$X$ e $Y$ sono indipendenti se e solo se:

$$P_{X,Y}(x_i,y_j)=P_X(x_i)\cdot P_Y(y_j)\forall i\in I,j\in J$$

Scorciatoia

Per capire se $X$ e $Y$ sono indipendenti basta sapere $P_{X,Y}$ e non le probabilità marginali $P_X$ e $P_Y$.

Infatti:

$$\begin{array}{rl}& P_x(x_i)=\sum _j{P}_{X,Y}(x_i,y_j)\\ & P_Y(y_j)=\sum _i{P}_{X,Y}(x_i,y_j)\end{array}$$

Valore atteso

$$E[XY]=E[X]\cdot E[Y]$$

Varianza

Covarianza

$$\text{Cov}(X,Y)=0$$