Variabile Aleatoria di Poisson

Related

• Variabile Aleatorie Congiunte
• Variabili Aleatorie
• Calcolo delle Probabilità (class)

---

Variabile Aleatoria di Poisson

Una variabile aleatoria di Poisson è una variabile aleatoria che rappresenta il numero di eventi che si verificano in un intervallo di tempo o spazio fissato, dove gli eventi sono indipendenti e hanno una probabilità costante di verificarsi.

Notazione

Indichiamo una v.a di Poisson $X$ di parametro λ con:

$$X=\text{Pois}(\lambda )$$

Dove λ (lambda) indica: la media del numero di eventi che si verificano nell’intervallo di tempo o spazio fissato

oss: La variabile aleatoria di Poisson può assumere soltanto valori interi non negativi (0, 1, 2, …).

---

Formule

Densità di Probabilità Discreta

La probabilità di ottenere $k$ eventi è data dalla formula:

$$P_X(k)=P(X=k)=\frac{{\lambda }^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}$$

Dove:

• $P_X(k)\ge 0\forall k=0,1,2,\dots$

• ${\sum }_{k=0}^{\infty }{P}_X(k)=1$

Dim (da fare)

Calcolo Valore Atteso

$$E[X]=\lambda$$

Dim (da fare)

Varianza

$$\text{Var}(X)=\lambda$$

Dim (da fare)

Esempio

Supponiamo di avere una linea di produzione dove si verificano errori con una media di 2 errori all’ora ($\lambda =2$). Sia $X$ la variabile aleatoria che rappresenta il numero di errori che si verificano in un’ora.

Determinare:

1. Probabilità di ottenere 0 errori
2. Probabilità di ottenere 1 errore
3. Probabilità di ottenere 2 errori
4. Valore atteso di $X$
5. Varianza di $X$

1. Probabilità di ottenere 0 errori:

$$P(X=0)=\frac{{\lambda }^0\cdot e^{-\lambda }}{0!}=e^{-2}\approx 0,135$$

2. Probabilità di ottenere 1 errore:

$$P(X=1)=\frac{{\lambda }^1\cdot e^{-\lambda }}{1!}=2e^{-2}\approx 0,271$$

3. Probabilità di ottenere 2 errori:

$$P(X=2)=\frac{{\lambda }^2\cdot e^{-\lambda }}{2!}=\frac{4}{2}{e}^{-2}\approx 0,271$$

4. Valore atteso di $X$:

$$E[X]=\lambda =2$$

5. Varianza di $X$:

$$\text{Var}(X)=\lambda =2$$

---

Approssimazione di variabile di Binomiale con Poisson

Se $n$ è molto grande e $p$ è piccolo, la variabile aleatoria binomiale $\text{Bin}(n,p)$ può essere approssimata dalla variabile aleatoria di Poisson con parametro $\lambda =np$

$$\text{Pois}(n\cdot p)\approx \text{Bin}(n,p)⟺\text{Pois}(\lambda )\approx \text{Bin}\left(n,\frac{\lambda }{n}\right)$$

Questa approssimazione è nota come “legge dei piccoli numeri” e si basa sul fatto che quando $n$ è molto grande e $p$ è piccolo, la probabilità di successo in una singola prova è molto piccola, e quindi la variabile aleatoria binomiale può essere approssimata da una variabile aleatoria di Poisson.

Teorema: Legge dei Grandi Numeri

Dato $n\in \{1,2,\dots \}$ si $P_n\in [0,1]$ tale che:

$$\exists \underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot P_n=:\lambda >0$$

Allora $X_n=\text{Bin}(n,P_n)$ e $Z=\text{Pos}(\lambda )$ allora:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n=k)=P(Z=k)\forall k\in \{0,1,2,\dots \}$$

Quindi per $n$ grande possiamo approssimare $P(X_n=k)\approx P(Z=K)$, quindi in alcune situazioni abbiamo che:

$$\text{Bin}(n,p)\approx \text{Pois}(\lambda )$$

Dove presi $n,p,\lambda$ abbiamo che:

• $n\gg 1$ ($n$ molto più grande di 1)

• $np\approx \lambda$ (quindi $p\approx \frac{y}{n}$)

oss: Cosa si intende per $\text{Bin}(n,p)\approx \text{Pois}(\lambda )$?

$$P(X=k)\approx P(Z=k)\forall k=0,1,2,\dots$$

Dove $X=\text{Bin(n,p)}$ e $Z=\text{Pois}(\lambda )$.

Dim (da fare)

Esempio Astratto

Prendiamo la pagina di un libro e consideriamo la probabilità che un carattere venga stampato in modo errato.

Quindi abbiamo una v.a. binomiale infatti un numero di prove $n$ e due esiti, successo se stampato male e insuccesso altrimenti.

Notiamo che $n$ è il numero di caratteri ed è molto alto all’interno di una pagina, e $p$ possiamo assumerla piccola.

Possiamo quindi assumere $\text{Bin}(n,p)\approx Poisson(\lambda )$ dove $\lambda =n\cdot p$

Esempio Concreto

Supponiamo che il numero di errori tipografici per pagina sia approssimato da $\text{Pois}\left(\frac{1}{2}\right)$

Versione 1: Trovare la probabilità che ci sia almeno un errore a pagina 20.

Definiamo una v.a. aleatoria $Z$ tale che $Z:=\text{numero di errori a pagina 20}$, abbiamo che:

$$\begin{array}{rl}& -Z=\text{Pois}(\lambda )\text{ con }\lambda =\frac{1}{2}\\ & -P(z=k)=e^{-1/2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^k\cdot \frac{1}{k!}\end{array}$$

Possiamo considerare il fatto che ci sia almeno un errore come l’evento complementare di non ci sono errori, quindi possiamo calcolare:

$$P(Z\ge 1)=1-P(Z=0)=1-e^{-\frac{1}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^0\cdot \frac{1}{0!}=1-e^{-\frac{1}{2}}\approx 0.393$$

Versione 2: Trovare la probabilità che ci sia esattamente 4 errori a pagina 20.

Dobbiamo quindi calcolare:

$$P(Z=4)=e^{-\frac{1}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4\cdot \frac{1}{4!}=\frac{1}{\sqrt{e}}\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{1}{24}\approx 0.00158$$

La Poisson approssima una binomiale $\text{Pois}(\lambda )\approx \text{Bin}\left(n,\frac{\lambda }{n}\right)$