Variabile Aleatoria di Binomiale

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Variabile Aleatoria Binomiale

Una variabile aleatoria binomiale è una variabile aleatoria che rappresenta il numero di successi in una sequenza di prove indipendenti, ognuna delle quali ha due possibili risultati: successo o insuccesso.

La variabile aleatoria binomiale è caratterizzata da due parametri:

• $n$ → il numero di prove
• $p$ → la probabilità di successo in ogni prova

La variabile aleatoria binomiale può assumere valori interi compresi tra $0$ e $n$, dove $0$ rappresenta il numero di successi in nessuna delle prove e $n$ rappresenta il numero di successi in tutte le prove.

Notazione

Indichiamo una v.a binomiale $X$ di parametri $n,p$ con:

$$X=\text{Bin}(n,p)$$

Vedi: Approssimazione di variabile di Binomiale con Poisson

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Formule

Densità di Probabilità Discreta

La probabilità di ottenere $k$ successi in $n$ prove è data dalla formula:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

Dim (da fare)

Valore Atteso

$$E[X]=n\cdot p$$

Dim (da fare)

Varianza

$$\text{Var}(X)=n\cdot p\cdot (1-p)$$

Dim (da fare)

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Esempi

Esempio 1

Lancio cinque volte una moneta. Sia $X$ v.a definita come $X:=\text{Teste Uscite}$

Determinare:

1. Probabilità discreta di $X$
2. $E[X]$
3. $\text{Var}(X)$
4. $\sigma (X)$

oss: $X$ è una v.a. binomiale infatti possiamo definirla come: $X=\text{Bin}\left(5,\frac{1}{2}\right)$

1. Probabilità Discreta: Sappiamo che $X$ può assume i valori $0,1,2,3,4,5$ quindi per questi valori $k$ calcoliamo:

$$\begin{array}{rl}P(X=k)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}\\ & |\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)\cdot (\frac{1}{2}{)}^k\cdot (\frac{1}{2}{)}^{5-k}\\ & |\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)\cdot (\frac{1}{2}{)}^5\\ & |\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)\cdot \frac{1}{32}\end{array}$$ $$P(0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)\cdot \frac{1}{32}=\frac{1}{32}P(1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\cdot \frac{1}{32}=\frac{5}{32}P(2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}$$ $$P(3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}P(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\cdot \frac{1}{32}=\frac{5}{32}P(5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot \frac{1}{32}=\frac{1}{32}$$

2. Valore Atteso: $E[X]=n\cdot p=5\cdot \frac{1}{2}=2.5$

3. Varianza: $\text{Var}(X)=n\cdot p\cdot (1-p)=5\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1.25$

4. Deviazione Quadrata: $\sigma (X)=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{1.25}=1.118$