Variabile Aleatoria Binomiale Negativa

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Binomiale Negativa

La variabile aleatoria binomiale negativa rappresenta il numero di prove necessarie per ottenere un certo numero di successi, dove ogni prova ha una probabilità costante di successo, e l’ultima prova deve essere un successo.

Notazione

Indichiamo una v.a. binomiale negativa $X$ di parametri $r,p$ con:

$$X={\text{Bin}}^{-}(r,p)$$

Dove:

• $r$ è il numero di successi desiderati
• $p$ è la probabilità di successo in ogni prova

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Formule

Densità di Probabilità Discreta

La probabilità di ottenere $k$ prove per ottenere $r$ successi dove l’ultima prova è sicuramente un successo è data dalla formula:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1}\right)\cdot p^r\cdot (1-p{)}^{k-r}$$

Dim (da fare)

Valore Atteso

$$E[X]=\frac{r}{p}$$

Dim (da fare)

Varianza

$$\text{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$$

Dim (da fare)

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Esercizi

Esempio 1

In questo gioco s estrae una pallina da urna di 40 paline di cui una è dorata, se si estrae quest’ultima si vince un peluche. Vogliamo giocare finché non vinciamo 2 peluche.

Calcolare il valore atteso della spesa sapendo che ogni estrazione di un pallina costa 1.5 euro.

Definiamo:

• $X=\text{Numero di volte che giochiamo}$
• $Y=\text{Spesa effettuata}=1.5\cdot X$
• $p=P(\text{Estrarre pallina dorata})=\frac{1}{40}$

Possiamo vedere $X$ come una variabile binomiale negativa infatti continuiamo a estrarre palline con probabilità $1/40$ fino a quando non otteniamo due successi, quindi:

$$X={\text{Bin}}^{-}\left(p=\frac{1}{40},r=2\right)$$

Valore atteso delle estrazione effettuate:

$$E[X]=\frac{r}{p}=\frac{2}{\frac{1}{40}}=80$$

Valore atteso della spesa effettuata:

$$E[y]=E[X]\cdot 1.5=80\cdot 1.5=120$$

Esempio 2 (utile)

Due squadre di basket si sfidano ad una parità dove la prima ad arrivare a 4 match vinti allora vince la sfida.

Sapendo che la squadra più forte ha una probabilità di $0.6$ di vincere ogni singola match, calcolare la probabilità che questa squadra vinca la sfida in esattamente $i$ incontri dove $i\in \{4,5,6,7\}$.

Definiamo:

• $X=\#\text{match giocati}$

$X$ non è altro che una v.a. binomiale negativa, infatti può essere vista come il numero di match giocati fino a quando la squadra più forte ottiene 4 vittorie con probabilità $0.6$, quindi:

$$X={\text{Bin}}^{-}(p=0.6,r=4)$$

Ora calcoliamo che la partita finisca in 4,5,6,7 match:

$$\begin{array}{rl}P(X=4)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4-1}{4-1}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^{4-4}\\ & |\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^0=1\cdot 0.6^4\cdot 1=0.1296\\ & \\ P(X=5)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5-1}{4-1}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^{5-4}\\ & |\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^1=4\cdot 0.6^4\cdot 0.4=0.20736\\ & \\ P(X=6)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6-1}{4-1}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^{6-4}\\ & |\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^2=10\cdot 0.6^4\cdot 0.4^2=0.20736\\ & \\ P(X=7)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7-1}{4-1}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^{7-4}\\ & |\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot 0.6^4\cdot (1-0.6{)}^3=20\cdot 0.6^4\cdot 0.4^3=0.16588\end{array}$$