Variabili Aleatorie Continue

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Introduzione

A differenza delle variabili aleatorie discrete, che possono assumere solo un numero finito o numerabile di valori, le variabili aleatorie continue possono assumere un numero infinito di valori all’interno di un intervallo.

Definizione Variabile Aleatoria Continua

Una variabile aleatoria $X:S\to R$ è detta continua se esiste una funzione $f:\mathbb{R}\to [0,+\infty ]$ tale che:

$$P(X\in A)=\underset{A}{\int }f(x)dx$$

La suddetta funzione $f$ è detta funzione di densità.

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Variabile aleatoria continua uniforme

Una variabile aleatoria continua uniforme è un tipo specifico di variabile aleatoria continua in cui tutti i valori all’interno di un certo intervallo hanno la stessa probabilità di essere assunti.

Notazione

Variabile aleatoria continua uniforme sull’intervallo $[a,b]$

$$X=\text{Unif}([a,b])$$

oss: non c’è differenza tra $(a,b)$ e $[a,b]$

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Funzione di Densità

Funzione di Densità (V.a. Continua Uniforme)

Una v.a. continua $X$ è detta uniforme sull’intervallo $[a,b]$ se ha come funzione di densità:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& \text{se }x\in [a,b]\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

oss: $f(X)\ge 0$

Funzione di Densità (V.a. Continua NON Uniforme)

Una v.a. continua $X$ NON uniforme sull’intervallo $[a,b]$ ha come funzione di densità $f(x)$ che può variare in modo non costante all’interno dell’intervallo. La funzione di densità deve soddisfare le seguenti condizioni:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x)& \text{se }x\in [a,b]\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Dove $g(x)$ è una funzione continua e positiva nell’intervallo $[a,b]$ e soddisfa la condizione di normalizzazione:

$${\int }_a^{b}g(x)dx=1$$

oss: $f(x)\ge 0$

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Densità di Probabilità

Densità di probabilità (sotto intervallo)

La probabilità che la v.a. continua definita su $[a,b]$ assuma un valore in un intervallo $[c,d]$ all’interno di $[a,b]$ è data da:

$$P(X\in [c,d])={\int }_c^{d}f(x)dx$$

Per ogni $a\le c<d\le b$

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oss:

• $P(X\in [a,b])=1$
• $P(X\in [-\infty ,+\infty ])=1$

Formula semplificata per continue Uniformi

Data $X=\text{Unif}([a,b])$

$$P(X\in [c,d])={\int }_c^{d}f(x)dx=\frac{d-c}{b-a}$$

Esempio (uniforme)

Se consideriamo una variabile aleatoria continua uniforme $X$ definita sull’intervallo $[2,5]$, la sua unzione di densità di probabilità sarà:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5-2}=\frac{1}{3}& \text{se }2\le x\le 5\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

In questo caso, la probabilità di trovare $X$ in un intervallo specifico, ad esempio $[3,4]$, sarà:

$$P(3\le X\le 4)={\int }_3^4\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}\cdot (4-3)=\frac{1}{3}$$

oss: usando la formula semplificata $P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}=\frac{4-3}{5-2}=\frac{1}{3}$

Esempio (non uniforme)

Calcolare $P(X>3)$ sapendo che $X$ v.a. continua con funzione di densità:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2& \text{se }x\in [1,5]\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Ricavare valore incognita:

Sappiamo che $1={\int }_a^{b}f(x)dx$ quindi:

$$1={\int }_1^{5}f(x)dx={\int }_1^{5}c{x}^{2}dx=c\cdot {\int }_1^5{x}^{2}dx=c\cdot \frac{x^3}{2}{|}_1^5=c\cdot (\frac{5^3}{3}-\frac{1^3}{3})=c\cdot \frac{124}{3}$$

Quindi otteniamo che $1=c\cdot \frac{123}{3}$, ovvero:

$$c=\frac{3}{124}$$

Calcolare P(X>3):

oss: $P(X>3)=P(X\in (3,+\infty ))=P(X\in (3,5])$

$$P(X\in (3,5])={\int }_3^{5}c{x}^{2}dx=c\cdot \frac{X^3}{3}{|}_3^5=c\cdot \frac{5^3-3^3}{3}=c\cdot \frac{98}{3}=\frac{3}{124}\cdot \frac{98}{3}=\frac{98}{124}$$

Casi Particolari

Densità di probabilità su intervallo puntiforme

Quando si considera la probabilità che una variabile aleatoria continua X assuma un valore in un singolo punto $x$​, si ha:

$$P(X=x)=0\forall x\in \mathbb{R}$$

Spiegazione “pratica”: In un intervallo chiuso, come ad esempio $[a,b]$, ci sono infiniti punti (valori) che la variabile aleatoria può assumere. Di conseguenza, la probabilità di ottenere un valore esatto (un singolo punto) è zero.

Densità di probabilità su intervallo parzialmente contenuto

Data v.a. $X$ continua su $[a,b]$

Quando si calcola la probabilità che $X$ assuma un valore in un intervallo $[c,d$] che non è completamente contenuto nell’intervallo originale $[a,b]$, è necessario considerare solo la parte dell’intervallo $[c,d]$ che rientra in $[a,b]$.

Esempio $X=\text{Unif}([2,5])$

Per calcolare la probabilità che la variabile aleatoria continua uniforme $X$ assuma un valore nell’intervallo $[-2,4]$, dobbiamo prima verificare se questo intervallo rientra nell’intervallo definito della variabile, che è $[2,5]$.

Poiché l’intervallo $[-2,4]$ si sovrappone parzialmente con l’intervallo $[2,5]$, dobbiamo considerare solo la parte dell’intervallo $[-2,4]$ che rientra in $[2,5]$. Quindi, l’intervallo di interesse diventa $[2,4]$.

Calcolare la Probabilità

La probabilità che $X$ assuma un valore nell’intervallo $[2,4]$ è data dall’integrale della funzione di densità di probabilità $f(x)$ su questo intervallo.

La funzione di densità di probabilità per una variabile aleatoria continua uniforme definita su $[2,5]$ è:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{5-2}=\frac{1}{3}& \text{se }2\le x\le 5\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Quindi, calcoliamo la probabilità:

$$P(2\le X\le 4)={\int }_2^{4}f(x)dx={\int }_2^4\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}\cdot (4-2)=\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}$$

oss: usando la formula semplificata $P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}=\frac{4-2}{5-2}=\frac{2}{3}$

Densità di probabilità su unione di intervalli

Data v.a. $X$ continua su $[a,b]$ e gli intervalli $[c,d]$ ed $[e,f]$

La probabilità che $X$ assuma un valore in $[c,d]$ o in $[e,f]$ può essere rappresentata come:

$$P(X\in [c,d]\cup [e,f])$$

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Se gli intervalli sono sovrapposti li consideriamo un intervallo solo, esempio:

$$P(X\in [c,d]\cup [e,f])=P(X\in [c,f])$$

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Se gli intervalli non hanno elementi in comune allora:

$$P(X\in [c,d]\cup [e,f])=P(X\in [c,d])+P(X\in [e,f])$$

Esempio $X=\text{Unif}([2,8])$, calcolare la probabilità che avvenga l'evento "$-3<X<4$ o $5\le X<8$".

Calcolare la probabilità di questo evento significa calcolare $P(X\in A)$ tale che $A=(-3,4)\cup [5,8)$

Prima di tutto notiamo che l’intervallo l’intervallo $(-3,4)$ non è completamente contenuto da $[2,8]$ quindi prendiamo soltanto la parte che rientra in $[2,8]$ quindi il “nuovo” $C$ sarà $[2,4)$.

Ora osserviamo che i due intervalli $[2,4)$ e $[5,8)$ non hanno elementi in comune quindi sappiamo che

Metodo Lungo

$$P(X\in (2,4)\cup [5,8))=P(X\in (2,4))+P(X\in [5,8))$$

Calcoliamo funzione di probabilità su $X$:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{8-2}=\frac{1}{6}& \text{se }x\in [2,8]\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Quindi:

$$P(X\in (2,4))={\int }_2^{4}f(x)dx={\int }_2^4\frac{1}{6}dx=\frac{1}{6}\cdot (4-2)=\frac{2}{6}$$ $$P(X\in [5,8))={\int }_5^{8}f(x)dx={\int }_5^8\frac{1}{6}dx=\frac{1}{6}\cdot (8-5)=\frac{3}{6}$$

Allora:

$$P(X\in (2,4)\cup [5,8))=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$$

Metodo Veloce

Metodo più veloce usando questa formula $P(X\in [c,d])=\frac{d-c}{b-a}$ dove $X=\text{Unif}([a,b])$

$$P(X\in (2,4))=\frac{4-1}{8-2}=\frac{2}{6}$$ $$P(X\in [5,8))=\frac{8-5}{8-2}=\frac{3}{6}$$

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Funzione di Distribuzione

La funzione di distribuzione (o ripartizione) è una funzione matematica che descrive la probabilità che una variabile aleatoria assuma valori inferiori o uguali a un certo valore.

Vedi: definizione generale di funzione di distribuzione

Calcolo

Data $X$ v.a. continue la funzione di distribuzione è calcolata facendo:

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(u)du$$

Dove:

• $F(X)$ è la funzione di distribuzione di $X$
• $f(u)$ è la funzione di densità di $X$

F(X) vs f(x)

Esempio (uniforme)

Calcolare la funzione di distribuzione $F(x)$ di $X=Unif([-2,10])$

Funzione di densità:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{12}& \text{se }-2\le x\le 10\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Sappiamo che $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(u)dx$, dobbiamo considerare tre casi per $F(x)$:

$$\begin{array}{rl}& \\ & 1.X<-2⟹F(X)={\int }_{-\infty }^{x}0du=0\\ & \\ & 2.-2\le x\le 10⟹F(X)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{12}du=\frac{x-(-2)}{12}=\frac{x+2}{12}\\ & \\ & 3.X>10⟹F(X)={\int }_{-\infty }^{x}f(u)du={\int }_{-2}^{10}f(u)du=1\\ & \end{array}$$

Quindi:

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<2\\ & \\ \frac{x+2}{12}& \text{se }-2\le x\le 10\\ & \\ 1& \text{se }x>10\end{array}$$

Esempio (non uniforme)

oss: continuo di questo esempio

Calcolare la funzione di distribuzione $F(x)$ di $X$ v.a. continua tale che:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{124}{x}^2& \text{se }x\subset [1,5]\\ & \\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Sappiamo che $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(u)dx$, dobbiamo considerare tre casi per $F(x)$:

$$\begin{array}{rl}& \\ & 1.X<1⟹F(X)={\int }_{-\infty }^{x}0du=0\\ & \\ & 2.1\le x\le 5⟹F(X)={\int }_1^x\frac{3}{124}{x}^{2}du=\frac{\cancel{3}}{124}\cdot \frac{u^3}{\cancel{3}}{|}_1^x=\frac{x^3-1}{124}\\ & \\ & 3.X>5⟹F(X)={\int }_{-\infty }^{x}f(u)du={\int }_1^{5}f(u)du=1\\ & \end{array}$$

Quindi:

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x<1\\ & \\ \frac{x^3-1}{124}& \text{se }1\le x\le 5\\ & \\ 1& \text{se }x>5\end{array}$$

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Valore Atteso

Definizione

Se $X$ è variabile aleatoria continua allora

$$E[X]:={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$

Formula semplificata continue uniformi: $E[x]=\frac{a+b}{2}$ (è al centro dell’intervallo)

Valore atteso funzione di v.a.

Sia $X$ v.a. continua con funzioni di densità $f$ e sia $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, allora:

$$E[g(x)]={\int }_{+\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$$

Proprietà

Stesse delle variabili aleatorie discrete:

1. $X$ v.a. continua e $a,b\in \mathbb{R}$ allora:

$$E[aX+b]=a\cdot E[X]+b$$

2. $X$ v.a. continua tale che $X_1,\dots ,X_n$ con $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$ allora:

$$E\left[\sum _{i=2}^n{a}_i{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n{a}_{i}E[X_i]$$

todo : Metti esempio esercizi visti a lezione 4 dicembre

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Varianza, Deviazione e Co-Varianza

Definizione Varianza

Sia $X$ v.a. continua allora la varianza è:

$$Var(X)=E[(X-EX{)}^2]$$

Formula semplificata continue uniformi: $\text{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

Definizione Co-Varianza

Siano $X$ e $Y$ v.a. continue:

$$\text{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$$

Sono le stesse definizione delle variabili aleatori discrete, valgono alche le stesso proprietà:

• Proprietà Varianza
• Proprietà Co-Varianza