Intervalli Insiemi

Index

1. Definizioni
2. Operazioni
3. Maggiorante e Minorante
4. Estremo superiore e Inferiore
5. Massimo e Minimo

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• Calcolo Differenziale (class)

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Definizioni

Intervalli chiusi

$$\begin{array}{rl}& [a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}\\ & [a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a\le x<b\}\\ & (a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a<x\le b\}\\ & (a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}\end{array}$$

Intervalli aperti

$$\begin{array}{rl}& (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb{R}:x<b\}\\ & (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb{R}:x\le b\}\\ & (a,+\infty )=\{x\in \mathbb{R}:x>a\}\\ & [a,+\infty )=\{x\in \mathbb{R}:x\ge a\}\\ & \\ & \text{oss: }(+\infty ,-\infty ):=\mathbb{R}\end{array}$$

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Operazioni

Unione tra intervalli

L’unione tra due intervalli non da necessariamente come risultato un intervallo

$$\begin{array}{rl}& (0,1)\cup [1,2]=(0,2)\text{eˋ intervallo}\\ & \\ & (0,1)\cup [2,3]\text{non eˋ intervallo}\\ & (0,1)\cup (1,2)\text{non eˋ intervallo}\end{array}$$

oss

$$\{0\}\cup \{1\}\text{non eˋ un intervallo}$$

Intersezione tra intervalli

Intersezione tra due intervalli è un intervallo se l’intersezione non è vuota e diversa da un solo punto.

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Maggiorante e Minorante

Maggiorante

Si dice maggiorante di A un qualsiasi valore reale (y) che maggiora tutti gli elementi (x) dell’insieme (A)

$$\begin{array}{rl}& A\subseteq \mathbb{R}\\ & y\in \mathbb{R}\text{maggiorante }A⟺\forall x\in A:y\ge x\end{array}$$

Minorante

Si dice minorante di A un qualsiasi valore reale (y) che minora tutti gli elementi (x) dell’insieme (A)

$$\begin{array}{rl}& A\subseteq \mathbb{R}\\ & y\in \mathbb{R}\text{minorante }A⟺\forall x\in A:y\le x\end{array}$$

oss: per far sì che un valore reale sia un minorante o un maggiorante di un insieme, può appartenervi o non appartenervi

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Estremo superiore e Inferiore

Estremo superiore

$sup(A)=y$ y si dice Estremo Superiore di A se y è il piccolo maggiorante di A.

Estremo inferiore

$inf(A)=y$ y si dice Estremo Inferiore di A se y è il grande minorante di A.

oss

1. Estremo superiore ed inferiore esistono sempre se l’insieme non è vuoto
2. Estremo superiore ed inferiore posso e non possono far parte dell’ insieme

Proprietà

& 1. \ \ \ \ se\ \ A\not=\emptyset \implies\ inf(A)\leq sup(A) \\ & 2. \ \ \ \ se\ A\subseteq B \implies inf(B)\leq inf(A)\leq sup(A)\leq sup(B) \\ & 3. \ \ \ \ se\ \forall a \in A\ \exists b \in B:\ a\leq b \implies\sup(A)\leq sup(B) \\ & 4. \ \ \ \ se\ \forall a \in A\ \exists b \in B:\ a\geq b \implies\inf(B)\leq inf(A) \\ \end{align}

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Massimo e Minimo

Massimo

Se l’estremo superiore di un insieme appartiene all’insieme stesso, allora prende il nome di massimo dell’insieme.

$$\begin{array}{rl}& A\subseteq \mathbb{R}\\ & max(A)=y⟺y=sup(A)\wedge y\in A\end{array}$$

Minimo

Se l’estremo inferiore di un insieme appartiene all’insieme stesso, allora prende il nome di minimo dell’insieme.

$$\begin{array}{rl}& A\subseteq \mathbb{R}\\ & min(A)=y⟺y=inf(A)\wedge y\in A\end{array}$$