Operazioni tra insiemi numerabili e innumerabili

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N = Numerabile R = Innumerabile

oss: $\varnothing$ non numerabile

Unione:

Possibile

• $N\cup N=N$
• $R\cup R=R$
• $R\cup N=R$

[! warning] Impossible

• $N\cup N=R$
• $R\cup R=N$
• $R\cup N=N$

Intersezione:

• $N\cap N=N$
  • soltanto se $N\cap N\ne \varnothing$ ⇒ quindi esiste intersezione numerabile soltanto se i due insiemi hanno almeno un elemento in comune
• $R\cap R=R$
  • soltanto se $R\cap R\ne N$
  • oss: l’intersezione tra due insiemi innumerabili (R) può dare come risultato un insieme numerabile (N) guarda Esercizi
• $R\cap N=R$

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Esercizi

Per ogni coppia di insiemi A e B si ha che:

& 1. \ \ \ \ A\cap B \text{ è numerabile, se A è numerabile: \textcolor{orange}{Falso}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se A numerabile e B}=\emptyset \implies A\cap B = \emptyset \\ \\ & 2. \ \ \ \ A\cap B \text{ è numerabile, se A e B sono numerabili: \textcolor{orange}{Falso}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se A}= \mathbb{N}^+\ e B=\mathbb{N}^- \implies A\cap B = \emptyset \\ \\ & 3. \ \ \ \ A\cap B\ \text{non è numerabile, se A e B non sono numerabili: \textcolor{orange}{Falso}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se A}= \mathbb{N}\cup\mathbb{R}^+\ e B=\mathbb{N}\cup\mathbb{R}^- \implies A\cap B = \mathbb{N} \\ \\ & 4. \ \ \ \ A\cup B\ \text{è numerabile, se A e B sono numerabili: \textcolor{orange}{Falso}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \text{se A e B sono numerabili allora }\exists fa:\mathbb{N}\to A \text{(biunivoca)}\ e\ \exists fb:\mathbb{N}\to B\text{(biunivoca)} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \text{allora}\ fa\cup fb\ \text{è numerabile}\\ \end{align}$$