Proprietà Relazioni

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Index

1. Riflessiva
2. Anti riflessiva
3. Simmetrica
4. Anti simmetrica
5. Transitiva
6. Chiusura Transitiva e Riflessiva
7. Esempio
8. Casi particolari

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Riflessiva

Una relazione si dice riflessiva quando ogni elemento dell’insieme considerato è in relazione con se stesso.

$$\forall a\in A(a,a)\in R$$

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Anti-Riflessiva

Una relazione si dice anti-riflessiva quando ogni elemento dell’insieme considerato non è in relazione con se-stesso.

$$\forall a\in A(a,a)\notin R$$

oss: non esiste una funzione che è sia allo stesso tempo riflessiva ed anti-riflessiva.

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Simmetrica

Una relazione di dice anti simmetrica quando per ogni coppia (a,b) esiste la coppia (b,a).

$$\forall a,b\in A[(a,b)\in R]⟹[(b,a)\in R]$$

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Anti-simmetrica

Una relazione si dice anti-simmetrica se:

• esiste una coppia (a,b) allora non deve esistere la coppia (b,a)
• esiste la coppia (a,b) e la coppia (b,a) allora a = b

$$\forall a,b\in A[(a,b)\in Rand(b,a)\in R]⟹a=b$$

oss

Può esistere una funzione che è allo stesso momento simmetrica ed anti-simmetrica, esempio: (1,1), (2,2), (3,3)

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Transitiva

Una relazione si dice transitiva quando esiste la coppia (a,b) e la coppia (b,c) allora deve esistere la coppia (a,c).

$$\forall a,b,c\in A[(a,b)\in Rand(b,c)\in R]⟹[(a,c)\in R]$$

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Chiusure

La chiusura simmetrica di una relazione $R\subseteq A\times A$ è la più piccola relazione simmetrica $R_1$ tale che $R\subseteq R_1\subseteq A\times A$