Radicali

Index

1. Condizioni di esistenza
2. Condizioni di esistenza
3. Teorema dei Radicali
4. Proprietà
5. Manipolazione

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Introduzione

Sintassi

$$\sqrt[n]{a}$$

n = Indice a = Radicale

Caratteristiche

Possono avvenire due casi:

1. se n è numero dispari, si dice radice n-esima di a quel numero b che elevato ad n ci restituisce a. $sendispari:\sqrt[n]{a}⟺b^n=a,cona,b\in R$

2. se n è numero pari, si dice radice n-esima di a quel numero positivo b che, elevato ad n, ci restituisce un numero positivo a . $senpari:\sqrt[n]{a}⟺b^n=a,cona\ge 0,b\ge 0$

Esempio

$\sqrt{-64}nonesiste,mentre\sqrt[3]{-64}=-4$

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Condizioni di esistenza

$$\sqrt[a]{x}:C.E.=\{\begin{array}{l}x\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}seapari\\ x\in \mathbb{R}seadispari\end{array}$$

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Teorema dei Radicali

Teorema

$$\begin{array}{rl}& -sea\in R_{>0}en1\ge ⟹\exists !numeoropositivo\alpha t.c.{\alpha }^n=a\\ & \\ & Ovvero:\alpha =\sqrt[n]{a}⟹{\alpha }^n=adove\alpha \in R_{>0}\end{array}$$

Radicali come potenze con esponente fratto

$$\begin{array}{rl}& \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}perognin\in Nconn\ge 1\\ & \\ & Nota:\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}conn,m\in N\end{array}$$

Attenzione agli esponenti negativi

$$a^{-\frac{m}{n}}:=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$$

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Proprietà

Proprietà

$$\begin{array}{rlr}& 1.\sqrt[n]{a}\ast \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}⇢Prodottodiradicaliconstessoindice& \\ & & \\ & 2.\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}doveb\ne 0⇢Differenzatradueradicalistessoindice& \\ & & \\ & 3.\sqrt[n\ast s]{a^{m\cdot s}}=\sqrt[n]{a^m}⇢Propriet{a}^{\prime }invariantiva& \\ & & \\ & 4.(\sqrt[n]{a}{)}^m=\sqrt[n]{a^m}\forall a\ge 0,conn,m\in N⇢Potenzadiunradicale& \\ & & \\ & 5.\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}conm,n\in N⇢Radicediradice& \end{array}$$

OSS:

$$\begin{array}{rl}& 1.\sqrt[n]{a+b}\ne \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\\ & \\ & 2.\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}\end{array}$$

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Manipolazione

Trasporto di un fattore dentro il segno di radice

$a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n\cdot b}cona,b\ge 0,n\in N$

Riduzione di due radicali allo stresso indice

$\sqrt[n]{a},\sqrt[m]{b}$

1. Calcolare minimo comune multiplo tra n ed m

2. Utilizziamo l’mcd come nuovo esponente delle radici

3. Dividiamo il nuovo indice per i rispettivi indici delle radici

4. Eleviamo i radicandi al risultato precedente (3)

Esempi

$$\begin{array}{rlr}& 0.\sqrt[3]{8},\sqrt[4]{16}& \\ & & \\ & 1.m.c.d.(3,4)=12& \\ & & \\ & 2.\sqrt[12]{8^x},\sqrt[12]{16^y}& \\ & & \\ & 3.x=12/3,y=12/4& \\ & & \\ & 4.\sqrt[12]{8^4},\sqrt[12]{16^3}& \end{array}$$