Teorema valori intermedi

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Index

1. Enunciato 1.0
2. Enunciato 2.0
3. Teorema generalizzato

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Enunciato 1.0

• Sia:
  • $f:[a,b]\to \mathbb{R}\text{ continua su }[a,b]$
  • $t\in \mathbb{R}:f(a)\le t\le f(b)$
• Allora:
  • $\exists x_t\in (a,b):\boxed{f(x_t)=t}$

Quindi: se $f:[a,b]$ è continua allora assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$

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Enunciato 2.0

• Sia:

  • $f:[a,b]\to \mathbb{R}\text{continua}$ si $[a,b]$

• Allora:

  • $f([a,b])=[m,M]$

• Dove:

  • $m=min(\{f(x),x\in [a,b]\})$
  • $M=max(\{f(x),x\in [a,b]\})$

Quindi: se $f:[a,b]$ è continua allora assume tutti i valori compresi tra $f(m)$ e $f(M)$

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Teorema generalizzato

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è continua

• Se:
  • ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty$
  • ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\mp \infty$
• Allora:
  • $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}(\text{ surriettiva })$

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