Teoremi valori intermedi + Weierstrass

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$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è continua

Valori intermedi:

• se:
  • ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty$
  • ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\mp \infty$
• Allora:
  • $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}(\text{ surriettiva })$

Caso2:

• Se:
  • ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$
• Allora:
  • $\exists m=min(\{f(x),x\in \mathbb{R}\})$
  • $f(\mathbb{R})=[m,+\infty ]$

Caso3:

• Se:
  • ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty$
• Allora:
  • $\exists M=min(\{f(x),x\in \mathbb{R}\})$
  • $f(\mathbb{R})=[-\infty ,M]$

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