Casi Generali (Integrali Razionali)

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Index

1. Introduzione
2. Procedura
3. Grado degli elementi della fattorizzazione
4. Esempi

Related

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• Integrali di Funzioni Razionali
• Integrali

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Introduzione

Questo è un metodo generale per la risoluzione di integrai di funzioni razionali, ovvero integrali di frazioni dove sia al numeratore che al denominatore è presente un polinomio.

Forma

$$\int \frac{n(x)}{d(x)}dx$$

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Procedura

Questa procedura si divide in 4 fasi:

1. Divisione

Effettuare una divisione polinomiale tra numeratore $n(x)$ e il denominatore $d(x)$.

Importante!! $grdd(x)<grdn(x)$:

• ovvero se Il grado grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore.

2. Fattorizzazione

Fattorizzare il denominatore $d(x)$.

• ovvero scomporre il denominatore in un prodotto di fattori di primo e/o secondo grado non ulteriormente .

3. Decomposizione

Decomporre la frazione in “fratti” più semplici.

• Questo passaggio cambia in base al grado massimo dei termini della Fattorizzazione, vedi:
  • Grado degli elementi della fattorizzazione
  • Fattorizzazione di un polinomio

4. Integrazione

Integrare i vari “pezzettini”.

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Grado degli elementi della fattorizzazione

In base ai gradi degli elementi della fattorizzazione la procedura per il calcolo della decomposizione può cambiare:

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Esempi

Esempio 1. (dettagliato)

Risolvere

Divisione

Fattorizzazione

Vedi: Fattorizzazione di un polinomio

Decomposizione

Riscrivere $\frac{1}{x^2-x-2}$ come come una somme di frazioni più semplici

Integrazione

Integriamo funzione originale ma riscritta nella sua scomposizione più semplice

Esempio 2.

Esempio 3.

Esempio 4.

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