Definizione derivata prima

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Indice

1. Derivata prima di una funzione in un punto

   1. Notazioni
   2. Definizione

2. Definizione Prof. Orsina

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Derivata prima di una funzione in un punto

Notazioni:

$f^{\prime }(x0);\dot{f}(x0);\frac{df}{dx}(x0);D(f(x)){|}_{x=x0}$

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Definizione

La derivata è il limite del Rapporto Incrementale della funzione nel punto al tendere dell’incremento a zero.

Definizione Matematica: $f^{\prime }(x0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x0+h)-f(x0)}{h}$ Definizione Geometrica:

Obbiettivo: Calcolare coefficiente angolare (m) della retta tangente alla funzione f(x) nel punto x0

Coefficiente angolare retta secante: $m_{sec}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Coefficiente angolare retta tangente al punto x0: $m_{tg}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

• Se questo limite esiste ed è definito, la funzione $y=f(x)$ si dice derivabile nel punto di ascissa $x_0$

• Il valore che assume il limite si chiama derivata di f in x_0

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Definizione Prof. Orsina

$f:[a,b]\to \mathbb{R},x_0\in (a,b)$ Rapporto incrementale di f(x):

$m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

• $m$ è il coefficiente angolare della retta $y=f(x_0)+m(x-xo)$ passante per i punti $(xo,f(x_0))e(x,f(x))$

Limite rapporto incrementale: ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Definizioni

• Sia:

  • $f:[a,b]\to \mathbb{R},x_0\in (a,b)$

• Se:

  • $\exists {\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L\in \mathbb{R}$

• Allora:

$$\begin{array}{rl}& -f\text{ si dice Derivabile}in{x}_0\\ & -L=f(x_0{)}^{{}^{\prime }}\text{ eˋ la derivata prima }dif(x)in{x}_0\end{array}$$

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oss:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

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