Dipendenze Funzionali

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Definizione di Dipendenza Funzionale

Dato uno schema di relazione $R$, una dipendenza funzionale su $R$ è una coppia ordinata di sottoinsiemi non vuoti $X,Y$ di $R$.

Notazione

$$X\to Y$$

Si legge: $X$ determina funzionalmente $Y$ oppure $Y$ dipende funzionalmente da $X$

Dove:

• $X$ = Determinante
• $Y$ = Dipendente

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Soddisfare una Dipendenza Funzionale

Dati uno schema $R$ e una dipendenza funzionale $X\to Y$ su $R$,

Un’istanza $r$ di $R$ soddisfa la dipendenza funzionale $X\to Y$ se:

$$\forall t_1,t_2\in r:t_1[X]=t_2[X]⟹t_1[Y]=t_2[Y]$$

oss: Se $t_1[X]\ne t_2[X]$ allora la dipendenza è comunque soddisfatta qualsiasi siano i valori di $t_1[Y]$ e $t_2[Y]$.

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Istanza Legale

Dati uno schema di relazione $R$ e un insieme $F$ di dipendenze funzionali, un’istanza di $R$ è legale se soddisfa tutte le dipendenze in $F$.

Esempio Legale

Dipendenza Funzionale: $F=\{A\to B,B\to C\}$

L’istanza soddisfa la tutte dipendenze funzionali $A\to B$ e $A\to C$ quindi è un istanza legale.

Esempio Non Legale

Dipendenza Funzionale: $F=\{A\to B,B\to C\}$

L’istanza soddisfa la tutte dipendenze funzionali $A\to B$ ma non tutte le $A\to C$ quindi NON è un istanza legale.

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Chiusura di un Insieme di Dipendenze Funzionali

Dato uno schema di relazione $R$ e un insieme $F$ di dipendenze funzionali su $R$ La chiusura di $F$ è l’insieme delle dipendenze funzionali che sono soddisfatte da ogni istanza legale di $R$.

In altre parole la chiusura di un insieme di dipendenze funzionali è l’insieme di tutte le dipendenze funzionali che possono essere derivate dalle dipendenze funzionali dell’insieme originale

• Notazione: scriviamo $F^{+}$.
• oss: $F\subseteq F^{+}.$

Esempio

Se un istanza $R$ è legale sull’insieme di dipendenze funzionali $F=\{A\to BC\}$

Allora la chiusura di $F$ è:

$$F^{+}=\{A\to BC,A\to B,A\to C\}$$

Vedi: Calcolare chiusura di un insiemi di dipendenze funzionali

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Chiave

Dati uno schema di relazione $R$ e un insieme di dipendenze funzionali $F$, un sottoinsieme $K$ di uno schema di relazione $R$ è una chiave se rispetta due condizioni:

• Condizione 1: $K\to R\in F^{+}$
• Condizione 2: Non esiste un sottoinsieme proprio $K^{\prime }$ di $K$ tale che $K^{\prime }\to R\in F^{+}$

Dove:

• Condizione 1 intende che $K$ è un insieme di attributi che identifica univocamente ogni tupla della relazione.
• Condizione 2 intende che $K$ è minimale, cioè non esiste un sottoinsieme proprio $K$ che determini funzionalmente tutte le altre attributi di R ($k^{\prime }$ non deve essere una chiave).

Super Chiave

Se il sottoinsieme $K$ di $R$ rispetta soltanto la 1° condizione allora è detto super chiave, ovvero è una chiave non minimale.

Quindi una chiava i cui sottoinsiemi sono a loro volta chiavi è detta super chiave.

oss: Una chiave è sempre super chiave, dato che contiene se stessa, ma una super chiave non è detto che sia sempre chiave, ma ne contiene sempre una.

Chiave Primaria (SQL)

Dati uno schema $R$ e un insieme $F$ di dipendenze funzionali, possono esistere più chiavi, in SQL una di esse verrà scelta come chiave primaria.

• Una chiave primaria in SQL non può avere valore nullo.
• Di solito si sceglie quella con meno attributi questo perché migliora la velocità di ricerca nella base di dati.

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Dipendenze Funzionali Banali

Dati uno schema di relazione $R$ e due sottoinsiemi di $R$ non vuoti $X,Y$. Se $Y\subseteq X$ allora ogni istanza $r$ di $R$ soddisfa la dipendenza funzionale $X\to Y$.

Definizione

Pertante se $Y\subseteq X$ allora:

$$X\to Y\in F^{+}$$

Una tale dipendenza funzionale è detta banale

Esempio $R=\{ABCD\}$, i sottoinsiemi $X=ABC$ e $Y=AB$ è banale che:

$$X\to Y\text{eˋ soddisfatta}$$

Quindi ad esempio se abbiamo due tuple uguali su $X=ABC$ allora saranno uguali anche su $Y=AB$.

Prop

Dati uno schema di relazione $R$ e un insieme di dipendenze funzionali $F$ si ha:

$$X\to Y\in F^{+}⟺\forall A\in Y(X\to Y\in F^{+})$$

Quindi se $A\to BC\in F^{+}$ allora anche $A\to B\in F^{+}$ e $A\to C\in F^{+}$.