Equazioni Differenziali del 2° Ordine Omogenee (coefficienti reali costanti)

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Index

1. Introduzione
2. Metodo Risolutivo
3. Esempi

Related

• Equazioni Differenziali
• Calcolo Integrale (class)

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Introduzione

Forma

$$a\cdot y^{\prime \prime }(x)+b\cdot y^{\prime }(x)+c\cdot y(x)=0$$

Dove $a$, $b$ e $c$ $\in \mathbb{R}$

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Metodo Risolutivo

1. Risolvere Equazione Caratteristica

Forma Eq. Caratteristica:

$$a\cdot z^2+b\cdot z+c=0$$

Risolvere Eq.caratteristica:

$${\lambda }_1,{\lambda }_2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

• Risolvere come qualsiasi altra Equazioni di Secondo Grado.

Calcolare Soluzione Generale: Esistono 3 possibili soluzione diverse in base al risultato dell’equazione caratteristica:

1. Soluzioni Reali Distinte $({\lambda }_1\ne {\lambda }_2)$:

$$\begin{array}{rl}& -\text{Base: }{e}^{{\lambda }_{1}x},e^{{\lambda }_{2}x}\\ & -\text{Soluzione Generale: }y(x)=c_1\cdot e^{{\lambda }_{1}x}+c_2\cdot e^{{\lambda }_{2}x}\end{array}$$

2. Soluzioni Reali Coincidenti $({\lambda }_1={\lambda }_2)$:

$$\begin{array}{rl}& -\text{Base: }{e}^{\lambda x},x{e}^{\lambda x}\\ & -\text{Soluzione Generale: }y(x)=c_1\cdot e^{\lambda x}+c_2\cdot x{e}^{\lambda x}\end{array}$$

3. Soluzioni Complesse $({\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta )$:

$$\begin{array}{rl}& -\text{Base: }{e}^{\alpha x}\cos (\beta x),e^{\alpha x}\sin (\beta x)\\ & -\text{Soluzione Generale: }y(x)=c_1\cdot e^{\alpha x}\cos (\beta x)+c_2\cdot e^{\alpha x}\sin (\beta x)\end{array}$$

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Esempi

Esempio (soluzione reali distinte + cauchy)

Risolvere:

$$y^{\prime \prime }-16=0$$

Soluzione:

Esempio (soluzione complesse + Cauchy)

Risolvere:

$$y^{\prime \prime }(x)+4y^{\prime }(t)+8y(t)=0$$

Soluzione: