Equazioni di Secondo Grado

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Indice

1. Definizione
2. Numero di soluzioni
3. Metodi risolutivi
   • Complete
   • Monomie
   • Pure
   • Spurie

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Definizione

Un equazione di secondo grado è un equazione in cui almeno una delle incognite è di grado 2

$a{x}^2+bx+c=0$

• a: coefficiente del termine di 2° grado
• b: coefficiente del termine di 1° grado
• c: coefficiente del termine di grado 0

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Numero di soluzioni

• 2 Soluzioni Reali: $\Delta >0$
• 1 Soluzione Reale: $\Delta =0$ (due soluzioni coincidenti)
• 0 Soluzioni Reali: $\Delta <0$

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Metodi risolutivi

Complete (formula $\Delta$)

Definizione: Equazione in forma normale in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero

$a{x}^2+b^x+c=0cona,b,c\ne 0$ Risultato:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\to \{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$

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Monomie

Definizione: Equazione in forma normale in cui tutti i coefficienti dei termini di grado 1 e 0 sono nulli ($b,c=0$)

$a{x}^2=0$

Risultato:

$x_{1,2}=0$

Dimostrazione:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4\cdot a\cdot 0}}{2a}=\frac{0\pm 0}{2a}=0$

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Pure

Definizione:

• Equazione in forma normale in cui tutti i coefficienti dei termini di grado 1 sono nulli e il termine noto è diverso da zero ($b=0,c\ne 0$)

$a{x}^2+c=0cona\ne 0,c\ne 0$ Risultato:

$x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$

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Spurie

Definizione:

• Equazione in forma normale in cui tutti i coefficienti dei termini di grado 1 e 0 sono nulli ($b,c=0$)

$a{x}^2+bx=0cona,b\ne 0$

Risultato:

$x_1=0,x_2=\frac{-b}{a}$

Dimostrazione:

$$\begin{array}{rl}& a{x}^2+bx=0\to x(ax+b)=0\\ & \\ & x=0\\ & ax+b=0\to ax=-b\to x=\frac{-b}{a}\end{array}$$

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