Logaritmi

Index

1. Introduzione
2. Teorema
3. Condizioni di esistenza
4. Proprietà

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Introduzione

Sintassi

${\log }_{a}b$

• a = Base
• b = Argomento

Si legge: logaritmo in base a di b

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Teorema

$$\begin{array}{rl}& sea,b>0ea\ne 1⟹\exists \alpha t.c.a^{\alpha }=b\\ & \\ & Ovvero:\alpha ={\log }_{a}b⟹a^{\alpha }=b\end{array}$$

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Condizioni di esistenza

$${\log }_{f(x)}[g(x)]:C.E\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ f(x)\ne 1\\ g(x)>0\end{array}$$

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Proprietà

$$\begin{array}{rl}& 1.{\log }_{a}b\cdot c={\log }_{a}b+{\log }_{a}c⇢Prodottotralogaritmi\\ & \\ & 2.{\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c⇢Differenzatralogaritmi\\ & \\ & 3.{\log }_a{b}^n=n\cdot {\log }_{a}b⇢Potenzadiunlogaritmo\\ & \\ & 4.{\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}⇢Cambiobase\\ & \\ & 5.x^{{\log }_{b}y}=y^{{\log }_{b}x}\end{array}$$

oss

$$\begin{array}{rl}& -sea>0m>n⟹{\log }_{a}m>{\log }_{a}n⇢Crescente\\ & \\ & -sea<0m>n⟹{\log }_{a}m<{\log }_{a}n⇢Decrescente\end{array}$$

Esempio Cambio Base

$$n{\log }_{2}n=(2^{{\log }_{2}3}{)}^{{\log }_{2}n}=2^{({\log }_{2}n)\ast ({\log }_{2}3)}=(2^{{\log }_{2}n}{)}^{{\log }_{2}3}=n^{{\log }_{2}3}$$