Massimi e Minimi di una funzione

Index

1. Massimi e Minimi relativi
2. Massimi e Minimi assoluti
3. Esempi
4. Esistenza massimi e minimi

Related

• Funzioni
• Calcolo Differenziale (class)

---

Massimi e Minimi relativi

Definition:

$f:[a,b]\to \mathbb{R},x_0\in (a,b)$

• Massimo relativo
  • $x_0$ è un massimo relativo di f(x) se:
  • $\exists \delta >0:f(x_0)\ge f(x)\forall x\in [x_0-\delta ,x_0+\delta ]$
• Minimo relativo
  • $x_0$ è un minimo relativo di f(x) se:
  • $\exists \delta >0:f(x_0)\le f(x)\forall x\in [x_0-\delta ,x_0+\delta ]$

Teorem:

$f:[a,b]\to \mathbb{R},x_0\in (a,b)$

• Se:
  • $x_0$ è un massimo/minimo relativo
• Allora:
  • $f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$

$f^{{}^{\prime }}(1)=f^{{}^{\prime }}(2)=0$

Trovare massimi e minimi relativi con lo studio di funzione della derivata

1. Calcolare derivata della funzione
2. Porre $f(x{)}^{{}^{\prime }}\ge 0$
3. Effettuare studio di funzione con grafico

---

Massimi e Minimi assoluti

Metodo

1. Calcolare derivata $f^{{}^{\prime }}(x)$ della funzione $f(x)$
2. Studio del segno della derivata $f^{{}^{\prime }}(x)$

• Trova massimi e minimi relativi

3. Calcolare funzione dei punti ottenuti dal passaggio 2
4. Risultato:

• I massimino relativo con il valore più alto calcolato nel passaggio 3 sarà il massimo assoluto
• I minimo relativo con il valore più basso calcolato nel passaggio 3 sarà il minimo assolu

---

Esempi

Esempio

Trovare massimi e minimi relativi e assoluti della funzione $f(x)=(x-1)e^{3x}$ nel intervallo $[0,2]$

1. Calcolare derivata:

$$\begin{array}{rl}& f^{{}^{\prime }}(x)={\left[(x-1)e^{3x}\right]}^{{}^{\prime }}={\left[x-1\right]}^{{}^{\prime }}\cdot e^{3x}+(x-1)\cdot {\left[e^{3x}\right]}^{{}^{\prime }}=\\ & =1\cdot e^{3x}+(x-1)\cdot 3\cdot e^{3x}=\\ & =e^{3x}\cdot (1+3x-3)\\ & =(3x-2)e^{3x}\end{array}$$

1. Studio di funzione di $f^{{}^{\prime }}(x)$:

$$\begin{array}{c}{f}^{{}^{\prime }}(x)\ge 0\\ (3x-2)e^{3x}\ge 0\\ 3x-2\ge 0\\ \boxed{x\ge \frac{2}{3}}\end{array}$$

• $x=0$ è massimo relativo
• $x=\frac{2}{3}$ è minimo relativo
• $x=2$ è massimo relativo

3. Calcolare funzione dei punti ottenuti dal passaggio 2:

$f(x)=(x-1)e^{3x}$ quindi:

$$\begin{array}{rl}& -x=0\to f(0)=1\\ & -x=\frac{2}{3}\to f(2/3)=-\frac{1}{3}\cdot e^2\\ & -x=2\to f(2)=e^6\end{array}$$

4. Risultato:

• I massimino relativo con il valore più alto calcolato nel passaggio 3 sarà il massimo assoluto
• I minimo relativo con il valore più basso calcolato nel passaggio 3 sarà il minimo assoluto

5. Quindi:

• $x=\frac{2}{3}$ è il minimo assoluto
• $x=2$ è il massimo assoluto

---

Esistenza massimi e minimi

Il Teorema Weierstrass permette di capire se esistono dei massimi e minimi. (funzione continua su intervallo chiuso)