Teorema Weierstrass

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Index

1. Enunciato 1.0
2. Enunciato 2.0
3. Esempi

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Oss:

Se intervallo $[a,b]$ è illimitato allora Weierstrass non vale

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Enunciato 1.0

• Sia:

  • $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua su $[a,b]$

• Allora:

  • $\exists x_n,x_m\in [a,b]t.c:$
    • $m=min(f(x),x\in [a,b])=f(x_m)$
    • $M=max(f(x),x\in [a,b])=f(x_M)$

• Dove:

  • $f(x_n)\le f(x)\le f(x_M)$ $\forall x\in [a,b]$

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Enunciato 2.0

• Sia:

  • $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua

• Allora:

  • $f([a,b])=[m,M]$

• Dove: - $m=min(f(x),x\in [a,b])$ - $M=max(f(x),x\in [a,b])$

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Enunciato 3.0

• Sia:

  1. $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua
  2. $[a,b]$ è chiuso 3. $[a,b]$ è limitato

• Allora:

  • Esistono almeno un massimo e un minimo se:

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