Serie di Potenze

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Page Index

1. Definizione
2. Insieme di Convergenza
3. Raggio di convergenza
4. Esempi

Related

• Derivata di una Serie di Potenze

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Definizione

Definition

Si dice serie di potenze, la serie di tipo:

$$\sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-xo)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^k$$

Dove:

• $x_0\in \mathbb{R}$ detto cento o punto iniziale
• $a_k$ una successone di numeri reali

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• Una serie di potenze non è altro che una particolare Serie di Funzioni
• Ogni Serie di potenze se converge converge in $x_0$
• Le $x$ che fanno convergere la serie appartengono all’Insieme di Convergenza

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Insieme di Convergenza

Definizione

Per in insieme di convergenza ($I$) si intende un insieme di valori tali che:

$$\forall x\in I\to \sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(x-x_0{)}^n\text{converge}$$

Ovvero insiemi di valori che se utilizzati come $x$ della serie di potenze la rendono convergente

Esistono 6 possibili Intervalli di convergenza:

1. $[\ell ,\ell ]\text{con }\ell \in \mathbb{R}\text{(un solo punto reale)}$
2. $(-\infty ,+\infty )\text{(tutto }\mathbb{R})$
3. $(x_0-R,x_0+R)$
4. $[x_0-R,x_0+R]$
5. $(x_0-R,x_0+R]$
6. $[x_0-R,x_0+R)$

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Raggio di convergenza

Raggio di convergenza

In un intervallo $[x_0-R,x_0+R]$ $R$ è detto raggio di convergenza

oss

Due serie possono avere lo stesso raggio di convergenza ma non per questo avranno lo stesso insieme di convergenza

Infatti: $[x_0-R,x_0+R]\ne (x_0-R,x_0+R)$

Calcolare raggio di convergenza

Possiamo utilizzare Criterio del Rapporto e della Radice (Serie)

$$\begin{array}{rl}& -\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\ell \text{(rapporto)}\\ & -\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\ell \text{(radice)}\end{array}$$

In base al risultato del limite ($\ell$) otteniamo un $R$ diverso:

$$R=\{\begin{array}{ll}\infty & \text{se }\ell =0\\ 0& \text{se }\ell \ne +\infty \\ \frac{1}{\ell }& \text{se }\ell \ne 0\end{array}$$

oss

• Nel caso $R=\frac{1}{\ell }$ siamo sicuri che $\forall x\in (x_0-R,x_0+R)$ la serie converge assolutamente
• Ma non sappiamo come la serie si comporti agli estremi dell intervallo $x_0-R$ e $x_0+R$

Per questo dobbiamo studiare singolarmente gli esteremi e capire se convergenza assolutamente, semplicemente oppure se diverge.

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Esempi