Criterio del Rapporto e della Radice (Serie)

---

Index

1. Introduzione
2. Teorema
3. Esempi

---

Introduzione

I Criteri del Rapporto e della Radice sono utilizzati per la risoluzione di serie numeriche a termini non negativi

---

Teorema

\

Sia $a_n>0\forall n\in \mathbb{N}$ (serie a termini positivi)

Supponiamo che:

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\ell \text{(Rapporto)}\\ & \underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\ell \text{(Radice)}\end{array}$$

Allora:

$$\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n\{\begin{array}{ll}\text{Converge}& \text{Se }0\le \ell <1\\ \text{Diverge }(+\infty )& \text{Se }\ell >1\\ \text{Indeterminato (usare altro metodo)}& \text{Se }\ell =1\end{array}$$

oss

• Questi due metodi sono equivalenti (utilizzare quello più semplice per ogni determinata successione)
• Essendo $a_{n>0}$ $⟹$ $\ell \in [0,+\infty )$ oppure $\ell =+\infty$
• Se $a_n=\frac{1}{n^{\alpha }}$ i due metodi falliscono ($\ell =1$)

---

Esempi

Criterio Rapporto

Criterio Radice

---