Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

---

Teorema

Se $f$ è una funzione continua su l’intervallo $[a,b]$, allora:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$

Dove $F(x)$ è una qualsiasi primitiva di $f(x)$

Vedi: Risoluzione di integrali con Primitive

---

Esempi

Esempio 1

$${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^2=\frac{1}{3}\cdot 3^2-\frac{1}{3}\cdot 3^0=\frac{8}{3}$$

Infatti:

• $f(x)=x^2⟹F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$

Esempio 2

$${\int }_2^8{x}^2+5xdx=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{5}{2}{x}^2{|}_2^8=\frac{1}{3}\cdot 8^3+\frac{5}{2}{8}^2-\frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{5}{2}{2}^2=318$$

Infatti:

• $f(x)=x^2⟹F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$
• $f(x)=5x^1⟹F(x)=\frac{5}{2}{x}^2$