o piccolo di h

Index

1. Definizione (libro)
2. Definizione (Prof. Orsina)
3. Proprietà

Related

• Limiti
• Calcolo Differenziale (class)

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Definizione (libro)

$$\begin{array}{rl}& -\text{Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un introno di }{x}_0,\\ & \text{dove }{x}_0\in \mathbb{R}\\ & \\ & -se\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0allora:\\ & \\ & -f(x)=o(g(x))perx\to x_0\end{array}$$

Intuitivamente

• f(x) è un o piccolo di di g(x) per $x\to x_0$ è equivalente a dire che:
• f(x) è infinitamente più piccola, rispetto a g(x), quando $x\to x_0$

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Definizione (Prof. Orsina)

Def: O piccolo

Si dice $o(h^n)$ ($n\in \mathbb{N}$) [si legge o piccolo di h] una qualsiasi quantità tale che: ${\lim }_{h\to o}\frac{o(h)}{h}=0$

Esempi

1. $h^2$ è $o(h)$

• dim: ${\lim }_{h\to 0}\frac{h^2}{h}={\lim }_{h\to 0}h=0$

2. $h^2$ non è $o(h^2)$

• dim: ${\lim }_{h\to 0}\frac{h^2}{h^2}=1$

3. $\sin (h^3)$ é $o(h^2)$

• dim: ${\lim }_{h\to 0}\frac{\sin (h^3)}{h^2}={\lim }_{h\to 0}h=0$

4. $1-\cos (h)$ é $o(h)$

• dim: ${\lim }_{h\to 0}\frac{1-\cos (h)}{h}=0$

5. $h^3+3h^2$ non é $o(h^2)$

• dim: ${\lim }_{h\to 0}\frac{h^3+3h^2}{h^2}={\lim }_{h\to 0}h+3=3$

6. $h^3+3h^2$ é $o(h)$

• dim: ${\lim }_{h\to 0}\frac{h^3+3h^2}{h^2}={\lim }_{h\to 0}{h}^2+3h=0$

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Proprietà

Proprietà

• $h^k\cdot o(h^n)=o(h^{n+k})$
• $o(h^k)\cdot o(h^n)=o(h^{n+k})$
• $o(h^n)\pm o(h^n)=o(h^n)$
• $M\cdot o(h^n)=o(h^n)M\in \mathbb{R}$

Esempio 1

$x^3=o(x^2)$ vero o falso ?

• una quantità è $o(X^2)$ se, dicidendola per $x^2$, e facendola tendere $x$ a zero, il limite vale zero ${\lim }_{x\to o}\frac{x^3}{x^2}={\lim }_{x\to 0}x=0$

Esempio 2

$x^3=o(x^3)?$

$$\underset{x\to 0}{\lim }=\underset{x\to 0}{\lim }$$