Taylor con resto di Peano

---

Index

1. Formula di Taylor con resto di Peano (Teorema)
2. Significato

---

Formula di Taylor con resto di Peano (Teorema)

Nelle ipotesi della formula di Taylor, e con l’ipotesi aggiuntiva che esista $f^{(n)}(x_0)$, vale la formula:

$$\begin{array}{rl}& T_n(f(x),x_0)=\sum _{k=0}^n\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o[(x-x_0{)}^n]\\ & \\ & -\text{polinomio di grado}\le n\\ & -\text{infinitesimo di grado superiore a n (Resto di Peano)}\\ & \\ & \text{Dove:}\\ & -f(x)\text{eˋ la funzione da approssimare}\\ & -n\text{eˋ il grado di approssimazione}\\ & -x_0\text{eˋ il punto in cui approssimare (centro dello sviluppo)}\\ & \\ & \text{Prerequisiti:}\\ & -f(x)\text{eˋ definita in un certo intervallo }(a,b)\\ & -f(x)\text{eˋ derivabile }n-1\text{ volte nell’intervallo}\\ & -\text{esiste la derivata n-esima in }{x}_0\\ & \end{array}$$

Nota

Il termine$o[(x-x_0{)}^n]$, dove $o(\cdot )$ indica l’o-piccolo, è dato da una qualsiasi funzione $g(x)$ tale che:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)}{(x-x_0{)}^n}=0$$

---

Significato

• Il resto di Peano fornisce informazioni di tipo qualitativo.
• È cruciale capire sin da subito che non importa sapere quale sia la funzione precisa che porta all’uguaglianza, mentre è importante capire qual è il comportamento qualitativo della funzione Rn().

Il termine $o[(x-x_0{)}^n]$ individua una funzione qualsiasi che nell’intorno di $x_0$ tende a zero più velocemente di $(x-x_0{)}^n$.