Formula di Taylor

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Index

1. Definizione
2. Formula Sviluppo serie di Taylor
3. Sviluppo di Taylor con resto

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Definizione

Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione in un punto, se esiste, permette di esprimere la funzione nell’intorno del punto come un polinomio con infiniti termini.

Note

Arrestando lo sviluppo di Taylor ad un certo ordine consente di approssimare, almeno localmente (nel punto $x_0$, tutte le funzioni sufficientemente regolari con dei polinomi.

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Formula Sviluppo serie di Taylor

$$\begin{array}{rl}& T_n(f(x),x_0)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+R_n(x)\\ & \\ & -\text{Polinomio di grado}\le n-1\\ & -\text{Resto di ordine n}\\ & \\ & \text{Dove:}\\ & -f(x)\text{eˋ la funzione da approssimare}\\ & -n\text{eˋ il grado di approssimazione}\\ & -x_0\in (a,b)\text{eˋ il punto in cui approssimare (centro dello sviluppo)}\\ & \\ & \text{Prerequisiti:}\\ & -f(x)\text{eˋ definita in un certo intervallo }(a,b)\\ & -f(x)\text{eˋ derivabile }n-1\text{ volte nell’intervallo}\\ & -\text{esiste la derivata n-esima in }{x}_0\\ & \end{array}$$

Sviluppo di una funzione

$$T_n(f(x),x_0)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{6}(x-x_0{)}^3+\cdots +\frac{f^k(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

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Sviluppo di Taylor con resto

Polinomio di Taylor abbiamo detto che approssima la funzione, ma se aggiungiamo un termine complementare (detto resto) possiamo ottenere la funzione stessa.

Note

Arrestando lo sviluppo di Taylor ad un certo ordine è possibile esprimere i restanti termini sotto forma di resto.

$$\begin{array}{rl}& T_n(f(x),x_0)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+R_n(x)\\ & \\ & -\text{Polinomio di grado}\le n-1\\ & -\text{Resto di ordine n}\\ & \end{array}$$

Esistono due tipi di resto:

• Taylor con resto di Peano
• Taylor con resto di Lagrange

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