Taylor con resto di Lagrange

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Index

1. Formula di Taylor con resto di Lagrange (Teorema)
2. Significato

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Formula di Taylor con resto di Lagrange (Teorema)

Nelle ipotesi della formula di Taylor, e con l’ulteriore ipotesi aggiuntiva che esista la derivata $f^{(n)}(x_0)$ allora esiste un punto $c\in (a,b)$ tale che:

$$\begin{array}{rl}& T_n(f(x),x_0)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_0{)}^n\\ & \\ & -\text{Polinomio di grado}\le n-1\\ & -\text{Resto di Lagrange}\\ & \\ & \text{Dove:}\\ & -f(x)\text{eˋ la funzione da approssimare}\\ & -n\text{eˋ il grado di approssimazione}\\ & -x_0\in (a,b)\text{eˋ il punto in cui approssimare (centro dello sviluppo)}\\ & \\ & \text{Prerequisiti:}\\ & -f(x)\text{eˋ definita in un certo intervallo }(a,b)\\ & -c\in (a,b)\\ & -f(x)\text{eˋ derivabile }n-1\text{ volte nell’intervallo}\\ & -\text{esiste la derivata n-esima in }{x}_0\\ & \\ & \end{array}$$

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Significato

Il resto di Lagrange, a differenza di quello di Peano, fornisce informazioni quantitative sul resto.

Anche in questo caso non sappiamo né ci interessa capire quale sia il punto c per cui vale l’asserto. È sufficiente sapere che c’è e che la valutazione della derivata n-esima in tale punto conduce ad una rappresentazione esatta.