Equazioni Differenziali Lineari del 1° Ordine

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Index

1. Introduzione
2. Esempi

Related

• Equazioni Differenziali
• Calcolo Integrale (class)

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Introduzione

Forma

Le equazioni differenziali lineari del 1° ordine sono equazioni lineari che si presentano nella forma:

$$y^{\prime }(x)+a(x)\cdot y(x)=f(x)$$

Dove:

• se $a(x)=0$ allora è un equazioni differenziali elementare.
• se $f(x)=0$ allora è un equazione differenziale a variabili separabili.

Metodo Risolutivo

Eq. differenziale di partenza:

$$y^{\prime }(x)+a(x)\cdot y(x)=f(x)$$

Step risoluzione:

$$\begin{array}{rl}& 1)\text{Trovare una primitiva di }a(x)\text{ (cioeˋ una funzione }A(x)\text{ tale che A’(x) = a(x))}\\ & \\ & 2)\text{Moltiplicare entrambi i membri per }{e}^{A(x)}\text{:}\\ & \\ & y^{\prime }(x)\cdot e^{A(x)}+a(x)\cdot y(x)\cdot e^{A(x)}=f(x)\cdot e^{A(x)}\\ & \\ & 3)\text{Integrare entrambi i mebri:}\\ & \\ & y(x)\cdot e^{A(x)}=\int f(x)\cdot e^{A(x)}dx+c\\ & \\ & 4)\text{Ricavare }y(x)\text{ moltiplicando entrambi i membri per }{e}^{-A(x)}\text{:}\\ & \\ & y(x)=e^{-A(x)}\int f(x)\cdot e^{A(x)}dx+c\cdot e^{-A(x)}\end{array}$$

oss

$$y^{\prime }(x)\cdot e^{A(x)}+a(x)\cdot e^{A(x)}\cdot y(x)=[y(x)\cdot e^{A(x)}{]}^{\prime }⟹\int y^{\prime }(x)\cdot e^{A(x)}+a(x)\cdot e^{A(x)}\cdot y(x)dx=y(x)\cdot e^{A(x)}$$

Metodo del Fattore Integrale

Esistono più metodi per risolvere le equazioni differenziali lineari del 1° ordine, il metodo appena citato è chiamato Metodo del Fattore Integranle.

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Esempi

Esempio